Определить скорости шаров после удара

[Антон Огурцевич]

121. Три одинаковых абсолютно упругих шара висят, касаясь друг друга, на трёх параллельных нитях одинаковой длины. Один из шаров отклоняют по направлению, перпендикулярному прямой, соединяющей центры двух других шаров, и отпускают. В момент удара этот шар имеет скорость v₁ = 1 м/с, а затем отскакивает в противоположном направлении со скоростью u₁ (рис. 5.2). Определить скорости шаров после удара. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
До взаимодействия шары касались друг друга, шары одинаковых размеров, то в момент удара точки соприкосновения трёх шаров будут на отрезках, соединяющих их центры, из чего следует, что после столкновения покоящиеся шары разлетятся под углом 30° относительно первоначального направления движения первого шара. После столкновения скорость первого шара равна u₁, второго – u₂, третьего – u₃. Массы всех шаров одинаковые. Покажем рисунок для ситуации до и после столкновения.
Удар шаров упругий. При этом выполняются: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Запишем закон сохранения импульса, определим проекции на оси Ох и Оу, учтём, что импульс равен произведению массы тела на его скорость.

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}={{m}_{1}}\cdot {{{\vec{u}}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{{\vec{u}}}_{2}}+{{m}_{3}}\cdot {{{\vec{u}}}_{3}}, \\
 & Ox:{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}=-{{m}_{1}}\cdot {{u}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha +{{m}_{3}}\cdot {{u}_{3}}\cdot cos\alpha , \\
 & Oy:0={{m}_{2}}\cdot {{u}_{2}}\cdot sin\alpha -{{m}_{3}}\cdot {{u}_{3}}\cdot sin\alpha , \\
 & {{m}_{1}}={{m}_{2}}={{m}_{3}}=m, \\
 & m\cdot {{\upsilon }_{1}}=-m\cdot {{u}_{1}}+m\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha +m\cdot {{u}_{3}}\cdot cos\alpha ,{{\upsilon }_{1}}=-{{u}_{1}}+{{u}_{2}}\cdot \cos \alpha +{{u}_{3}}\cdot cos\alpha , \\
 & 0=m\cdot {{u}_{2}}\cdot sin\alpha -m\cdot {{u}_{3}}\cdot sin\alpha ,0={{u}_{2}}\cdot sin\alpha -{{u}_{3}}\cdot sin\alpha ,{{u}_{2}}={{u}_{3}}=u(1), \\
 & {{\upsilon }_{1}}=-{{u}_{1}}+u\cdot \cos \alpha +u\cdot cos\alpha (2). \\
\end{align} \]

Применим закон сохранения энергии

\[ \begin{align}
  & \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}=\frac{{{m}_{1}}\cdot u_{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot u_{2}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{3}}\cdot u_{3}^{2}}{2},\,{{m}_{1}}={{m}_{2}}={{m}_{3}}=m,{{u}_{2}}={{u}_{3}}=u, \\
 & \frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}=\frac{m\cdot u_{1}^{2}}{2}+\frac{m\cdot {{u}^{2}}}{2}+\frac{m\cdot {{u}^{2}}}{2},\frac{\upsilon _{1}^{2}}{2}=\frac{u_{1}^{2}}{2}+\frac{{{u}^{2}}}{2}+\frac{{{u}^{2}}}{2},\upsilon _{1}^{2}=u_{1}^{2}+{{u}^{2}}+{{u}^{2}}, \\
 & \upsilon _{1}^{2}=u_{1}^{2}+2\cdot {{u}^{2}}(3). \\
\end{align} \]

Решим систему из уравнений (2) и (3) определим скорости шаров после взаимодействия

\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{1}}=-{{u}_{1}}+u\cdot \cos \alpha +u\cdot cos\alpha (2),\upsilon _{1}^{2}=u_{1}^{2}+2\cdot {{u}^{2}}(3), \\
 & 1=-{{u}_{1}}+u\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+u\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, \\
 & 1=-{{u}_{1}}+u\cdot \sqrt{3}(2),1=u_{1}^{2}+2\cdot {{u}^{2}}(3), \\
 & {{u}_{1}}=u\cdot \sqrt{3}-1(2),1={{(u\cdot \sqrt{3}-1)}^{2}}+2\cdot {{u}^{2}}(3), \\
 & 1=3\cdot {{u}^{2}}+1-2\cdot \sqrt{3}\cdot u+2\cdot {{u}^{2}},5\cdot {{u}^{2}}-2\cdot \sqrt{3}\cdot u=0,u\cdot (5\cdot u-2\cdot \sqrt{3})=0, \\
 & u=0,5\cdot u-2\cdot \sqrt{3}=0,5\cdot u=2\cdot \sqrt{3},u=\frac{2\cdot \sqrt{3}}{5},u=0,692, \\
 & {{u}_{1}}=\frac{2\cdot \sqrt{3}}{5}\cdot \sqrt{3}-1=\,\frac{2\cdot 3}{5}-1=\frac{6}{5}-1=0,2,{{u}_{1}}=0,2,{{u}_{2}}=0,692,{{u}_{3}}=0,692. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 0,2 м/с, 0,692 м/с, 0,692 м/с.