Решение. По условию задачи частица начала своё движение из начала координат, и её скорость зависит от времени по закону
\[ \begin{align}
& \vec{\upsilon }(t)=(A\cdot \vec{i}+B\cdot \vec{j})\cdot {{((\frac{t}{\tau }))}^{5}}, \\
& \vec{\upsilon }(t)=A\cdot {{(\frac{t}{\tau })}^{5}}\cdot \vec{i}+B\cdot {{(\frac{t}{\tau })}^{5}}\cdot \vec{j},\vec{\upsilon }(t)=2\cdot {{(\frac{t}{1})}^{3}}\cdot \vec{i}+3\cdot {{(\frac{t}{1})}^{5}}\cdot \vec{j}, \\
& \vec{\upsilon }(t)=2\cdot {{t}^{5}}\cdot \vec{i}+3\cdot {{t}^{5}}\cdot \vec{j}(1). \\
\end{align} \]
Скорость тела меняется и задан закон этого изменения на некотором отрезке от 0 до
t с. Тогда путь пройденный телом можно определить через определенный интеграл
\[ s={{s}_{0}}+\int\limits_{0}^{t}{\upsilon (t)dt.} \]
Определим какой путь проделает частица за время
t \[ \begin{align}
& x={{x}_{0}}+\int\limits_{0}^{t}{2\cdot {{t}^{5}}dt}={{x}_{0}}+\left. 2\cdot \frac{1}{6}\cdot {{t}^{6}} \right|_{0}^{t}={{x}_{0}}+\frac{2\cdot {{t}^{6}}}{6},{{x}_{0}}=0,x=\frac{{{t}^{6}}}{3}(2). \\
& y={{y}_{0}}+\int\limits_{0}^{t}{3\cdot {{t}^{5}}dt}={{y}_{0}}+\left. 3\cdot \frac{1}{6}\cdot {{t}^{6}} \right|_{0}^{t}={{y}_{0}}+\frac{3\cdot {{t}^{6}}}{6},{{y}_{0}}=0,y=\frac{3\cdot {{t}^{6}}}{6}=\frac{{{t}^{6}}}{2}(3). \\
& s=\sqrt{{{(\frac{{{t}^{6}}}{3})}^{2}}+{{(\frac{{{t}^{6}}}{2})}^{2}}}(4). \\
& s=\sqrt{{{(\frac{{{1}^{6}}}{3})}^{2}}+{{(\frac{{{1}^{6}}}{2})}^{2}}}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{4+9}{36}}=\frac{\sqrt{13}}{6}=0,6. \\
\end{align} \]
Ответ: д) 0,60 м.
\[ \begin{align}
& {{v}_{x}}={x}'(t)=2\cdot {{t}^{5}};{{v}_{y}}={y}'(t)=3\cdot {{t}^{5}}; \\
& L=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{{{(2\cdot {{t}^{5}})}^{2}}+{{(3\cdot {{t}^{5}})}^{2}}}}dt=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{4\cdot {{t}^{10}}+9\cdot {{t}^{10}}}}dt=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{13\cdot {{t}^{10}}}}dt=\int\limits_{0}^{1}{{{(13\cdot {{t}^{10}})}^{\frac{1}{2}}}}dt= \\
& =\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{13}\cdot {{t}^{5}}}dt=\sqrt{13}\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{5}}}dt=\left. \sqrt{13}\cdot \frac{{{t}^{6}}}{6} \right|_{0}^{1}=\frac{\sqrt{13}}{6}=0,6. \\
\end{align} \]
