Найти число степеней свободы молекулы этого газа

[Антон Огурцевич]

В процессе очень быстрого расширения без передачи тепла температура идеального газа падает в 8 раз, а давление уменьшается в 4096 раз. Найти число степеней свободы молекулы этого газа. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Процесс который проходит без передачи тепла называется адиабатным. Запишем уравнение адиабаты и определим показатель адиабаты 

\[ \begin{align}
  & {{T}^{k}}\cdot {{p}^{(1-k)}}=const.\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}={{(\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}})}^{\frac{k-1}{k}}},{{T}_{1}}=8\cdot {{T}_{2}},{{p}_{1}}=4096\cdot {{p}_{2}},\frac{{{T}_{2}}}{8\cdot {{T}_{2}}}={{(\frac{{{p}_{2}}}{4096\cdot {{p}_{2}}})}^{\frac{k-1}{k}}}, \\
 & \frac{1}{8}={{(\frac{1}{4096})}^{\frac{k-1}{k}}},\frac{1}{8}={{(\frac{1}{4096})}^{1-\frac{1}{k}}},\frac{1}{8}=\frac{\frac{1}{4096}}{{{(\frac{1}{4096})}^{\frac{1}{k}}}},{{(\frac{1}{4096})}^{\frac{1}{k}}}=\frac{8}{4096},{{(\frac{1}{4096})}^{\frac{1}{k}}}=\frac{1}{512}, \\
 & {{2}^{^{-\frac{12}{k}}}}={{2}^{-9}},k=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}. \\
\end{align} \]

При адиабатическом процессе показатель адиабаты равен

\[ k=\frac{{{C}_{p}}}{{{C}_{V}}}\ . \]

С_р и С_V – теплоемкость при изобарном и изохорном процессе.
Теплоемкость газа при изобарном процессе связана с теплоемкостью газа при изохорном процессе соотношением (уравнение Майера):

\[ {{C}_{p}}={{C}_{V}}+R,k=\frac{{{C}_{V}}+R}{{{C}_{V}}},k=1+\frac{R}{{{C}_{V}}},{{C}_{V}}=\frac{i}{2}\cdot R,k=\frac{i+2}{i},\frac{4}{3}=1+\frac{2}{i},\frac{1}{3}=\frac{2}{i},i=6. \]

Где ι = 6, газ трехатомный.
Ответ: 6.