Вступительный экзамен июнь 2017 года

[alsak]

Вступительный экзамен по физике в лицеи Могилевской области. 19 июня 2017. 10.00-13.00
Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Часть А.

В задачах 1 − 6 укажите правильные ответы.

1. Вариант 1. Площадь меньшего поршня гидравлического пресса 15 см². На него действует сила 300 Н. Какая сила действует на больший поршень, если его площадь равна 200 см²?

А. 10 Н. Б. 22,5 Н. В. 400 Н. Г. 1 кН. Д. 4 кН.

1. Вариант 2. Площадь малого поршня гидравлического пресса 30 см². На него действует сила 150 Н. Определите площадь большого поршня, если на него действует сила 500 Н.

А. 9 см². Б. 10 см². В. 90 см². Г. 100 см². Д. 2500 см².

Решение. Для гидравлического пресса силы и площади связаны следующим соотношением
\[\frac{F_{1} }{S_{1} } =\frac{F_{2} }{S_{2} }.\]
1 вариант.
\[F_{2} =F_{1} \cdot \frac{S_{2} }{S_{1} } ,\; \; F_{2} =300\cdot \frac{200}{15} =4,0\cdot 10^{3} .\]
Ответ: Д. 4 кН.

Вариант 2.
\[S_{2} =\frac{F_{2} }{F_{1} } \cdot S_{1} ,\; \; S_{2} =\frac{500\cdot 30}{150} =100{.}\]
Ответ: Г. 100 см².

[alsak]

2. Вариант 1. При каком удлинении пружины жесткостью 2,5 кН/м ее энергия станет равной 50 Дж?

А. 4 мм. Б. 2 см. В. 4 см. Г. 20 см. Д. 40 см.

Решение. Потенциальная энергия деформированной пружины
\[E_{p} =\frac{k\cdot \Delta l^{2} }{2} .\]
Тогда
\[\Delta l=\sqrt{\frac{2E_{p} }{k} } ,\; \; \Delta l=\sqrt{\frac{2\cdot 50}{2,5\cdot 10^{3} } } =0,2.\]
Ответ: Г. 20 см.

2. Вариант 2. С какой скоростью движется пуля массой 10 г, если ее кинетическая энергия равна 3200 Дж?

А. 64 м/с. Б. 80 м/с. В. 320 м/с. Г. 640 м/с. Д. 800 м/с.

Решение. Кинетическая энергия
\[E_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} .\]
Тогда
\[\upsilon =\sqrt{\frac{2E_{k} }{m} } ,\; \; \upsilon =\sqrt{\frac{2\cdot 3200}{{10}\cdot {10}^{-3} } } =800.\]
Ответ: Д. 800 м/с.

[alsak]

3. Вариант 1. При напряжении 120 В в электрической лампе накаливания за 0,5 мин израсходована 900 Дж электроэнергии. Определите силу тока, проходящего по спирали лампы.

А. 0,25 А. Б. 1 А. В. 4 А. Г. 10 А. Д. 15 А.

Решение. Расход электроэнергии (работа тока), напряжение и сила тока связаны следующим соотношением
\[A=U\cdot I\cdot \Delta t.\]
Тогда
\[I=\frac{A}{U\cdot \Delta t} ,\; \; I=\frac{900}{{120}\cdot 3{0}} =0,25.\]
Ответ: А. 0,25 А.

3. Вариант 2. Телевизор, потребляемая мощность которого 150 Вт, работает от сети с напряжением 220 В. Определите силу тока в сетевом шнуре телевизора.

А. 0,32 А. Б. 0,68 А. В. 1,5 А. Г. 6,8 А. Д. 33 кА.

Решение. Мощность тока, напряжение и сила тока связаны следующим соотношением
\[P=I\cdot U.\]
Тогда
\[I=\frac{P}{U} ,\; \; I=\frac{150}{{220}} =0,682.\]
Ответ: Б. 0,68 А.

[alsak]

4. Вариант 1. На дне лифта лежит груз массой 100 кг. Определите вес груза, если лифт начинает тормозить при подъеме вверх с ускорением 0,4 м/с². Ускорение свободного падения считать равным 9,8 м/с².

А. 100 Н. Б. 940 Н. В. 980 Н. Г. 1000 Н. Д. 1020 Н.

4. Вариант 2. Космический корабль совершает посадку на Луну, двигаясь замедленно в вертикальном направлении с постоянным ускорением 6,38 м/с². Сколько весит космонавт массой 70 кг, находящийся в этом корабле? Ускорение свободного падения на Луне 1,62 м/с².

А. 70 Н. Б. 113 Н. В. 333 Н. Г. 560 Н. Д. 700 Н.

Решение. Вес тела, движущегося с ускорением а, равен P = m·(g ± a).
Вариант 1. Скорость уменьшается (лифт тормозит), поэтому ускорение направлено против скорости, т.е. вниз. Тогда

P = m·(g – a),  Р = 100 кг ∙ (9,8 м/с² – 0,4 м/с²) = 940 Н.

Ответ: Б. 940 Н.

Вариант 2. При посадке скорость корабля уменьшается, поэтому ускорение направлено против скорости, т.е. вверх. Тогда

P = m·(g + a),  Р = 70 кг ∙ (1,62 м/с² + 6,38 м/с²) = 560 Н.

Ответ: Г. 560 Н.

[alsak]

5. Вариант 1. Пассажирский поезд тормозит с ускорением 0,2 м/с². На каком расстоянии от места включения тормоза скорость поезда станет равной 5 м/с, если перед торможением скорость была 54 км/ч?

А. 50 м. Б. 148 м. В. 500 м. Г. 625 м. Д. 7228 м.

Решение. Скорость поезда уменьшается, поэтому ускорение направлено против начальной скорости (рис. 1). При прямолинейном равноускоренном движении расстояние, которое пройдет поезд, равно перемещению
\[s=\Delta r=\Delta r_{x} =\frac{\upsilon _{x}^{2} -\upsilon _{0x}^{2} }{2\cdot a_{x} } ,\]
где υ_x = υ = 5 м/с, υ_0x = υ₀ = 54 км/ч = 15 м/с, а_х = –а, a = 0,2 м/с². Тогда
\[s=\frac{\upsilon _{}^{2} -\upsilon _{0}^{2} }{2\cdot \left(-a\right)} ,\, \, \, s=\frac{5^{2} -15^{2} }{2\cdot \left(-0,2\right)} =500.\]
Ответ: В. 500 м.

5. Вариант 2. После старта гоночный автомобиль достиг скорости 360 км/ч за 25 с. Какое расстояние он прошел за это время?

А. 1000 м. Б. 1250 м. В. 2500 м. Г. 4500 м. Д. 9000 м.

Решение. Скорость автомобиля увеличивается (рис. 2). При прямолинейном равноускоренном движении расстояние, которое пройдет автомобиль, равно перемещению
\[s=\Delta r=\Delta r_{x} =\frac{\upsilon _{x} +\upsilon _{0x} }{2} \cdot t,\]
где υ_x = υ = 360 км/ч = 100 м/с, υ_0x = 0, т.к. расстояние измеряют «после старта», t = 25 с. Тогда
\[s=\frac{\upsilon }{2} \cdot t,\; \; s=\frac{100}{2} \cdot 25=1250.\]
Ответ: Б. 1250 м.

[alsak]

6. Вариант 1. Пешеход часть пути прошел со скоростью 3 км/ч, затратив на это 2/3 времени своего движения. Оставшееся время он прошел со скоростью 6 км/ч. Определите среднюю скорость.

А. 3,5 км/ч. Б. 4 км/ч. В. 4,5 км/ч. Г. 5 км/ч. Д. 5.5 км/ч.

Решение. Средняя скорость пути для двух участков
\[\left\langle \upsilon \right\rangle =\frac{s_{1} +s_{2} }{t_{1} +t_{2} } ,\]
где t₁ + t₂ = t, s₁ = υ₁·t₁, s₂ = υ₂·t₂,
\[t_{1} =\frac{2t}{3} ,\; \; t_{2} =t-t_{1} =\frac{t}{3} .\]
Тогда
\[\left\langle \upsilon \right\rangle =\frac{\upsilon _{1} \cdot t_{1} +\upsilon _{2} \cdot t_{2} }{t_{1} +t_{2} } =\frac{\upsilon _{1} \cdot \frac{2t}{3} +\upsilon _{2} \cdot \frac{t}{3} }{t} =\frac{t\cdot \left(\upsilon _{1} \cdot 2+\upsilon _{2} \right)}{3t} =\frac{2\upsilon _{1} +\upsilon _{2} }{3} ,\]
 <υ> = 4 км/ч.
Ответ: Б. 4 км/ч.

6. Вариант 2. Скорость поезда на подъеме 30 км/ч, а на спуске - 90 км/ч. Определите среднюю скорость на вcем участке пути, если спуск в два раза длиннее подъема.

А. 39 км/ч. Б. 45 км/ч. В. 54 км/ч. Г. 60 км/ч. Д. 68 км/ч.

Решение. Средняя скорость пути для двух участков
\[\left\langle \upsilon \right\rangle =\frac{s_{1} +s_{2} }{t_{1} +t_{2} } ,\]
где s₂ = 2s₁ («спуск в два раза длиннее подъема»), s₁ + s₂ = s₁ + 2s₁ = 3s₁ = s, s₁ = υ₁·t₁,
\[s_{1} =\frac{s}{3} ,\; \; s_{2} =2s_{1} =\frac{2s}{3} ,\; \; t_{1} =\frac{s_{1} }{\upsilon _{1} } ,\; \; t_{2} =\frac{s_{2} }{\upsilon _{2} } .\]
Тогда
\[\left\langle \upsilon \right\rangle =\frac{s_{1} +s_{2} }{\frac{s_{1} }{\upsilon _{1} } +\frac{s_{2} }{\upsilon _{2} } } =\frac{s}{\frac{s}{3\upsilon _{1} } +\frac{2s}{3\upsilon _{2} } } =\frac{s}{\frac{s}{3} \cdot \left(\frac{1}{\upsilon _{1} } +\frac{2}{\upsilon _{2} } \right)} =\frac{3}{\frac{1}{\upsilon _{1} } +\frac{2}{\upsilon _{2} } } =\frac{3\upsilon _{1} \cdot \upsilon _{2} }{\upsilon _{2} +2\upsilon _{1} } ,\]
<υ> = 54 км/ч.
Ответ: В. 54 км/ч.

[alsak]

Часть Б.
Представьте полные решения задач 7 − 10.

7. Вариант 1. Определите количество теплоты, которое потребуется, чтобы в алюминиевом котелке массой 200 г нагреть 1,5 л воды от 20 ºС до кипения (100 °С). Удельная теплоемкость алюминия 920 Дж/(кг·°С), воды 4200 Дж/(кг·°С), плотность воды 1000 кг/м³.
Решение. Нагреваются алюминиевый котелок и вода, поэтому
\[Q=Q_{k} +Q_{b} ,\; \; Q_{k} =c_{k} \cdot m_{k} \cdot \Delta t_{k} ,\; \; Q_{b} =c_{b} \cdot m_{b} \cdot \Delta t_{b} ,\]
где с_k - удельная теплоемкость котелка (алюминия), с_b - удельная теплоемкость воды, m_b = ρ_b·V_b – масса воды, m_k – масса котелка, ρ_b - плотность воды, Δt_k = Δt_b = t₂ - t₁, t₁ = 20 °C, t₂ = 100 °C - температура кипения воды. Тогда
\[Q=c_{k} \cdot m_{k} \cdot \Delta t_{k} +c_{b} \cdot m_{b} \cdot \Delta t_{b} =\left(c_{k} \cdot m_{k} +c_{b} \cdot \rho _{b} \cdot V_{b} \right)\cdot \left(t_{2} -t_{1} \right),\]
Q = 5,19·10⁵ Дж = 519 кДж.

7. Вариант 2. В железной коробке массой 300 г мальчик расплавил 100 г олова. Какое количество теплоты пришлось на это затратить, если начальная их температура была 32 ºС? Температура плавления олова 232 ºС, железа - 1539 ºС, удельная теплоемкость олова 230 Дж/(кг·°С), железа - 460 Дж/(кг·°С), удельная теплота плавления олова 59 кДж/кг.
Решение. В задаче два тела: олово и железная коробка.
1 тело. Олово плавится при температуре t₂ = 232 ºС, поэтому олово необходимо вначале нагреть от t₁ = 32 °C до t₂, а затем только его можно будет расплавить.
2 тело. Железо плавится при температуре t₃ = 1539 ºС, поэтому при нагревании от t₁ = 32 °C до t₂ = 232 ºС железо плавиться не будет. Тогда
\[Q=Q_{o} +Q_{j} ,\; \; Q_{o} =c_{o} \cdot m_{o} \cdot \Delta t_{0} +m_{0} \cdot \lambda ,\; \; Q_{j} =c_{j} \cdot m_{j} \cdot \Delta t_{j} ,\]
где с_o - удельная теплоемкость олова, с_j - удельная теплоемкость железа, m_o – масса олова, m_j – масса железа, Δt_o = Δt_j = t₂ - t₁. Тогда
\[Q=c_{o} \cdot m_{o} \cdot \left(t_{2} -t_{1} \right)+m_{0} \cdot \lambda +c_{j} \cdot m_{j} \cdot \left(t_{2} -t_{1} \right),\]
Q = 3,81·10⁴ Дж = 38 кДж.

[alsak]

8. Вариант 1. Амперметр А₁ показывает силу тока 1 А (рис. 1). Определите показание амперметра А₂.
Решение. Для первого резистора нам известны R₁ = 100 Ом и I₁ = 1 А (показание амперметра). Тогда из закона Ома найдем напряжение
\[I_{1} =\frac{U_{1} }{R_{1} } ,\; \; U_{1} =I_{1} \cdot R_{1} ,\]
U₁ = 100 В.
Резисторы R₁ и R₂ соединены параллельно. Поэтому U = U₁= U₂ = 100 В.
Теперь и для резистора 2 мы знаем две величины: R₂ = 200 Ом и U₂ = 100 В. Следовательно,
\[I_{2} =\frac{U_{2} }{R_{2} } ,\]
I₂ = 0,5 А.
При параллельном соединении I = I₁ + I₂, I = 1,5 А - показание амперметра А₂.

8. Вариант 2. Вольтметр V₁ показывает 12 В (рис. 2). Определите показание вольтметра V₂?
Решение. Для первого резистора нам известны R₁ = 6 Ом и U₁ = 12 В (показание вольтметра). Тогда из закона Ома
\[I_{1} =\frac{U_{1} }{R_{1} } ,\]
I₁= 2 А.
Резисторы R₁ и R₂ соединены последовательно. Поэтому
I₁= I₂ = I = 2 А.
Теперь и для резистора 2 мы знаем две величины R₂ = 2 Ом и I₂ = 2 А. Тогда
\[I_{2} =\frac{U_{2} }{R_{2} } ,\; \; U_{2} =I_{2} \cdot R_{2} ,\]
U₂ = 4 В - показание вольтметра V₂.

[alsak]

9. Вариант 1. Рабочий толкает вагонетку 300 кг с силой, направленной вниз под углом 30° к горизонту. Найдите наименьшую силу, которую он должен приложить, чтобы сдвинуть вагонетку с места, если коэффициент трения 0,02.
Решение. На вагонетку действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N), сила трения (F_t) и внешняя сила (F) - сила, с которой рабочий толкает вагонетку (рис. 1). Так как вагонетка движется, то сила трения - это сила трения скольжения. Запишем второй закон Ньютона:
\[m\cdot \vec{a}=\vec{F}+m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{t} +\vec{N},\]
\[0X:\; m\cdot a=F\cdot \cos \alpha -F_{t} \; \; \; (1),\; \; 0Y:\; 0=-F\cdot \sin \alpha -m\cdot g+N\; \; \; (2),\]
\[F_{t} =\mu \cdot N,\; \; N=F\cdot \sin \alpha +m\cdot g\]
(из уравнения (2)). Тогда из уравнения (1)
\[m\cdot a=F\cdot \cos \alpha -\mu \cdot \left(F\cdot \sin \alpha +m\cdot g\right),\; \; F=\frac{m\cdot a+\mu \cdot m\cdot g}{{cos\; }\alpha -\mu \cdot {sin\; }\alpha } .\]
Сила будет наименьшей, если будет наименьшим ускорение, т.е. а = 0. В итоге получаем:
\[F_{\min } =\frac{\mu \cdot m\cdot g}{{cos\; }\alpha -\mu \cdot {sin\; }\alpha } ,\]
F_min = 70 Н.

9. Вариант 2. По горизонтальной плоскости движется груз массой 15 кг под действием силы 100 Н, направленной вверх под углом 60° к горизонту. Определите, с каким ускорением движется груз. Коэффициент трения между грузом и плоскостью считать равным 0,20.
Решение. На груз действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N), сила трения (F_t) и внешняя сила (F) (рис. 2). Так как груз движется, то сила трения - это сила трения скольжения. Запишем второй закон Ньютона:
\[m\cdot \vec{a}=\vec{F}+m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{t} +\vec{N},\]
\[0X:\; m\cdot a=F\cdot \cos \alpha -F_{t} \; \; \; (1),\; \; 0Y:\; 0=F\cdot \sin \alpha -m\cdot g+N\; \; \; (2),\]
\[F_{t} =\mu \cdot N,\; \; N=-F\cdot \sin \alpha +m\cdot g\]
(из уравнения (2)). Тогда из уравнения (1)
\[m\cdot a=F\cdot \cos \alpha -\mu \cdot \left(-F\cdot \sin \alpha +m\cdot g\right)=F\cdot \left(\cos \alpha +\mu \cdot \sin \alpha \right)-\mu \cdot m\cdot g,\]
\[a=\frac{F\cdot \left({cos\; }\alpha +\mu \cdot {sin\; }\alpha \right)}{m} -\mu \cdot g,\]
а = 2,5 м/с².

[alsak]

10. Вариант 1. Вычислите минимальную горизонтальную скорость, которую надо сообщить шарику, чтобы он сделал полный оборот в вертикальной плоскости. Шарик висит на легкой нерастяжимой нити длиной 2 м.
Решение. Скорость υ_{0 min} найдем из закона сохранения энергии. Сделаем схематический чертеж (рис. 1). За нулевую высоту примем нижнюю точку окружности.
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии
\[E_{0} =E_{k0} =\frac{m\cdot \upsilon _{0\min }^{2} }{2} .\]
Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
\[E=E_{p} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} +m\cdot g\cdot 2l.\]
Обратите внимание, что для груза на гибком подвесе (нити) минимальная скорость груза (υ₀) в нижней точке соответствует случаю, когда сила натяжения подвеса в верхней точке чуть больше нуля (Т = 0). Иначе, груз станет двигаться по параболе (движение под углом к горизонту), и не достигнет максимальной высоты. Из второго закона Ньютона для верхней точки найдем конечную скорость υ (см. рис. 1):
\[0Y:\; -m\cdot a=T_{y} -m\cdot g,\; \; a=\frac{\upsilon ^{2} }{l} ,\; \; T_{y} \approx 0,\]
\[m\cdot \frac{\upsilon ^{2} }{l} =m\cdot g,\, \, \, \upsilon ^{2} =g\cdot l.\]
Так как нет внешних сил, то запишем закон сохранения механической энергии и решим полученное уравнение:
\[\frac{m\cdot \upsilon _{0\min }^{2} }{2} =\frac{m\cdot \upsilon _{}^{2} }{2} +m\cdot g\cdot 2l,\, \, \, \upsilon _{0\min }^{} =\sqrt{\upsilon _{}^{2} +4g\cdot l} =\sqrt{5g\cdot l} ,\]
υ_0min = 10 м/с.

10. Вариант 2. Определите, с какой наименьшей высоты необходимо скатывать шарик, чтобы он смог описать в вертикальной плоскости «мертвую петлю» (рис. 2). Радиус петли 20 см. Трение не учитывать.
Решение. Наименьшую высоту h_{0 min} найдем из закона сохранения энергии. Сделаем схематический чертеж (рис. 3). За нулевую высоту примем нижнюю точку окружности.
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии
\[E_{0} =E_{p0} =m\cdot g\cdot h_{0{min}} .\]
Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
\[E=E_{p} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} +m\cdot g\cdot 2R.\]
Для того, чтобы шарик описал «мертвую петлю», он должен проскочить верхнюю точку B. Обратите внимание, что условие прохождения шариком верхней точки петли c минимальной энергией аналогично, вращению тел на гибком подвесе, т.е. N_B = 0. Из второго закона Ньютона для верхней точки найдем конечную скорость υ (см. рис. 3):
\[0Y:\; \; m\cdot a=N_{y} +m\cdot g,\; \; a=\frac{\upsilon ^{2} }{R} ,\; \; N\approx 0,\]
\[m\cdot \frac{\upsilon ^{2} }{R} =m\cdot g,\, \, \, \upsilon ^{2} =g\cdot R.\]
Так как нет внешних сил, то запишем закон сохранения механической энергии и решим полученное уравнение:
\[m\cdot g\cdot h_{0{min}} =\frac{m\cdot \upsilon _{}^{2} }{2} +m\cdot g\cdot 2R,\, \, \, h_{0\min }^{} =\frac{\upsilon _{}^{2} }{2g} +2R=\frac{g\cdot R}{2g} +2R=\frac{5R}{2} ,\]
h_0min = 0,5 м = 50 см.