Деталь в виде квадрата

[Антон Огурцевич]

8-19. Деталь в виде квадрата сварили из четырёх одинаковых однородных тонких стержней массы m и длины l каждый. Ось C проходит перпендикулярно плоскости детали через центр масс квадрата. Найти момент инерции детали относительно этой оси. m = 1 кг, l = 1 м. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
  Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J₀ относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.
  Момент инерции квадрата относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости квадрата через точку С определим по формуле

J = J₁ + J₂ + J₃ + J₄ , J₁ = J₂ = J₃ = J₄ , J =4∙ J₁ (1).

J₁  момент инерции одного из стержней относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости квадрата через точку С.

\[ \begin{align}
  & {{J}_{1}}={{J}_{0}}+m\cdot {{d}^{2}},d=\frac{l}{2},{{J}_{0}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12},{{J}_{1}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{(\frac{l}{2})}^{2}},{{J}_{1}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{4},{{J}_{1}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{3}(2). \\
 & J=4\cdot \frac{m\cdot {{l}^{2}}}{3}(3).J=4\cdot \frac{1\cdot {{1}^{2}}}{3}=1,33. \\
\end{align} \]

Ответ: 1,33 кг∙м².