Решение.
Определим формулу для вычисления момента инерции однородного стержня, вращающегося относительно оси
у, которая проходит перпендикулярно стержню и идет через его один конец.
Выделим в объеме стержня материальную точку (
dm), которая находится от оси вращения на расстоянии
х. Ее момент инерции равен:
dJ = dm∙х2 (1).
По условию задачи масса стержня распределена по его длине
m = ρ∙l (2),
ρ - линейная плотность вещества, из которого сделан стержень,
dm = ρdV (3),
где dV = dх
– объем, стержня, который занимает наша материальная точка. Для нахождения момента инерции всего стержня проинтегрируем выражение (1), учитывая (3) и то, что
0 ≤ х ≤ l:
\[ \begin{align}
& J=\int\limits_{0}^{l}{{{x}^{2}}\cdot \rho dx=}\int\limits_{0}^{l}{{{x}^{2}}\cdot {{\rho }_{0}}\cdot {{(\frac{x}{l})}^{2}}dx=}\frac{1}{{{l}^{2}}}\cdot \int\limits_{0}^{l}{{{x}^{2}}}\cdot {{\rho }_{0}}\cdot {{x}^{2}}dx=\frac{{{\rho }_{0}}}{{{l}^{2}}}\cdot \int\limits_{0}^{l}{{{x}^{4}}}dx=\frac{{{\rho }_{0}}}{{{l}^{2}}}\cdot \frac{1}{5}\cdot \left. {{x}^{5}} \right|_{0}^{l}=\frac{{{l}^{5}}}{{{l}^{2}}}\cdot \frac{{{\rho }_{0}}}{5}=\frac{{{\rho }_{0}}\cdot {{l}^{3}}}{5}. \\
& J=\frac{1\cdot {{1}^{3}}}{5}=0,2. \\
\end{align} \]
Ответ: 0,2 кг∙м
2.
