Найти момент инерции детали относительно этих осей

[Антон Огурцевич]

8-16. На одну плоскость положили тонкий однородный стержень массы m и длины l = 2R и диск радиуса R и такой же массы m. Центр стержня О приварили к диску. Перпендикулярно плоскости получившейся детали проходит ось через точку О. Найти момент инерции детали относительно этих осей. Если m = 1 кг, R = 1 м. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
 Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J₀ относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.
1) Момент инерции получившейся детали относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости через точку О определим по формуле

J = J₁ + J₂   (1).

J₁  момент инерции тонкого однородного стержня, J₂ момент инерции диска.
Запишем формулу для определения момента инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости через точку О

\[ {{J}_{1}}={{J}_{0}},{{J}_{0}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12},{{J}_{1}}=\frac{m\cdot {{(2\cdot R)}^{2}}}{12}=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{3}(2). \]

Запишем формулу для определения момента инерции диска относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости через точку О

\[ \begin{align}
  & {{J}_{2}}={{J}_{0}}+m\cdot d_{2}^{2},{{J}_{0}}=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2},{{d}_{2}}=R,{{J}_{2}}=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}},{{J}_{2}}=\frac{3\cdot m\cdot {{R}^{2}}}{2}(3). \\
 & J=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{3}+\frac{3\cdot m\cdot {{R}^{2}}}{2},J=\frac{11\cdot m\cdot {{R}^{2}}}{6}(4). \\
 & J=\frac{11\cdot 1\cdot {{1}^{2}}}{6}=1,833. \\
\end{align} \]

2). Момент инерции получившейся детали относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости через точку С определим по формуле

J = J₁ + J₂   (1).

J₁  момент инерции тонкого однородного стержня, J₂ момент инерции диска.
Запишем формулу для определения момента инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости через точку С

\[ {{J}_{1}}={{J}_{0}}+m\cdot {{d}^{2}},{{J}_{0}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12},l=2\cdot R,{{J}_{1}}=\frac{m\cdot {{(2\cdot R)}^{2}}}{12}+m\cdot {{R}^{2}}=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{3}+m\cdot {{R}^{2}}=\frac{4\cdot m\cdot {{R}^{2}}}{3}(2).
 \]

Запишем формулу для определения момента инерции диска относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости через точку С

\[  \begin{align}
  & {{J}_{2}}={{J}_{0}},{{J}_{0}}=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2},{{J}_{2}}=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}(3). \\
 & J=\frac{4\cdot m\cdot {{R}^{2}}}{3}+\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2},J=\frac{11\cdot m\cdot {{R}^{2}}}{6}(4). \\
 & J=\frac{11\cdot 1\cdot {{1}^{2}}}{6}=1,833. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 1) 1,833 кг∙м², 2) 1,833 кг∙м².