Вычислите линейную плотность заряда бесконечной нити

[Антон Огурцевич]

Вычислите линейную плотность заряда бесконечной нити, если при перемещении заряда 10^-9 Кл из точки, находящейся на расстоянии 5 см от нити, в точку на расстоянии 10 см от неё его энергия изменилась на 1 кэВ. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. 1 кэВ = 1,6∙10^-16 Дж.
По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:

\[ \begin{align}
  & {{\Phi }_{E}}=\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(1),{{\Phi }_{E}}=\oint{{{E}_{n}}}\cdot dS=E\cdot S=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l(2), \\
 & Q=\tau \cdot l(3),\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,\frac{\tau \cdot l}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,E=\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}(1). \\
\end{align} \]

Где: ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Изменение энергии равно работе, совершаемой внешними силами при перемещении заряда из точки 1 в точку 2.
Запишем уравнение элементарной работы, совершаемой внешними силами при перемещении заряда из точки 1 в точку 2.

\[ \begin{align}
  & dA=F\cdot dr(2),F=Q\cdot E(3),dA=Q\cdot E\cdot dr,dA=Q\cdot \frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}\cdot dr(4). \\
 & \Delta W=A=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{Q\cdot \frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}\cdot dr}=Q\cdot \frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}(5). \\
 & \tau =\frac{\Delta W\cdot 2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}{Q\cdot \ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}}.\tau =\frac{1,6\cdot {{10}^{-16}}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}{1\cdot {{10}^{-9}}\cdot \ln \frac{10\cdot {{10}^{-2}}}{5\cdot {{10}^{-2}}}}=128,32\cdot {{10}^{-19}}. \\
\end{align} \]

Ответ:128,32∙10^-19 Кл/м.