В колебательном контуре без потерь

[Антон Огурцевич]

В колебательном контуре без потерь в начальный момент t₀ = 0 сила тока, меняющегося по закону синуса, равна I₀ = 1,2 A, начальная фаза колебаний φ₀ = π/3, частота колебаний 2,6 кГц. Найти амплитуды колебаний силы тока в цепи и заряда на обкладках конденсатора, а также значение заряда q₀ в начальный момент. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Запишем уравнение колебаний силы тока

\[ \begin{align}
  & i={{I}_{m}}\cdot \sin (2\cdot \pi \cdot \nu \cdot t+\frac{\pi }{3}),1,2={{I}_{m}}\cdot \sin (2\cdot \pi \cdot 2,6\cdot {{10}^{3}}\cdot t+\frac{\pi }{3}), \\
 & t=0,1,2={{I}_{m}}\cdot \sin (2\cdot \pi \cdot 2,6\cdot {{10}^{3}}\cdot 0+\frac{\pi }{3}),{{I}_{m}}=\frac{1,2}{\sin \frac{\pi }{3}}=1,4. \\
\end{align} \]

Амплитуда колебаний силы тока в цепи I_m = 1,4 А.
Определим уравнение колебаний заряда на обкладках конденсатора, а также значение заряда q в начальный момент.

\[ \begin{align}
  & i=\frac{dq}{dt},dq=idt,q=\int{idt},q=\int{{{I}_{m}}\cdot \sin (2\cdot \pi \cdot \nu \cdot t+\frac{\pi }{3})dt}=-\frac{{{I}_{m}}}{2\cdot \pi \cdot \nu }\cdot \cos (2\cdot \pi \cdot \nu \cdot t+\frac{\pi }{3}). \\
 & {{q}_{m}}=\frac{{{I}_{m}}}{2\cdot \pi \cdot \nu }.{{q}_{m}}=\frac{1,4}{2\cdot 3,14\cdot 2,6\cdot {{10}^{3}}}=85,7\cdot {{10}^{-6}}. \\
 & q=-85,7\cdot {{10}^{-6}}\cdot \cos (2\cdot \pi \cdot 2,6\cdot {{10}^{3}}\cdot t+\frac{\pi }{3}), \\
 & t=0,{{q}_{0}}=-85,7\cdot {{10}^{-6}}\cdot \cos (2\cdot \pi \cdot 2,6\cdot {{10}^{3}}\cdot 0+\frac{\pi }{3}),{{q}_{0}}=-85,7\cdot {{10}^{-6}}\cdot \cos \frac{\pi }{3}, \\
 & {{q}_{0}}=-\frac{85,7\cdot {{10}^{-6}}}{2}=-42,85\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

q_m = -85,7∙10^-6 Кл, q₀ = -42,85∙10^-6 Кл.
Ответ: I_m = 1,4 А, q_m = -85,7∙10^-6 Кл, q₀ = -42,85∙10^-6 Кл.