Расстояние между предметом и экраном

[Антон Огурцевич]

25. Расстояние между предметом и экраном равно 50 см. Линза, помещённая между ними, даёт чёткое изображение предмета в двух положениях, расстояние между которыми равно 10 см. Определить увеличение изображения для обоих положений линзы. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Изображение увеличенное, линза собирающая, линза помещена между предметом и изображением, изображение действительное.
f₁, d₁ – расстояние от линзы до изображения и расстояние от предмета до линзы в первом положении, f₂, d₂ – расстояние от линзы до изображения и расстояние от предмета до линзы во втором положении.   
По условию задачи

\[ \begin{align}
  & {{f}_{1}}-{{f}_{2}}=0,1(1),{{f}_{1}}+{{d}_{1}}=0,5(2),{{f}_{2}}+{{d}_{2}}=0,5(3), \\
 & {{f}_{1}}=0,5-{{d}_{1}}(4),{{f}_{2}}={{f}_{1}}-0,1,{{f}_{2}}=0,5-{{d}_{1}}-0,1,{{f}_{2}}=0,4-{{d}_{1}}(5),\, \\
 & {{d}_{2}}=0,5-{{f}_{2}},{{d}_{2}}=0,5-0,4+{{d}_{1}},{{d}_{2}}=0,1+{{d}_{1}}(6). \\
\end{align}
 \]

Для решения задачи запишем формулу тонкой линзы для каждого положения

\[ \begin{align}
  & \frac{1}{F}=\frac{1}{{{f}_{1}}}+\frac{1}{{{d}_{1}}},\frac{1}{F}=\frac{1}{{{f}_{2}}}+\frac{1}{{{d}_{2}}},\frac{1}{{{f}_{1}}}+\frac{1}{{{d}_{1}}}=\frac{1}{{{f}_{2}}}+\frac{1}{{{d}_{2}}},\frac{1}{0,5-{{d}_{1}}}+\frac{1}{{{d}_{1}}}=\frac{1}{0,4-{{d}_{1}}}+\frac{1}{0,1+{{d}_{1}}}, \\
 & \frac{{{d}_{1}}+0,5-{{d}_{1}}}{(0,5-{{d}_{1}})\cdot {{d}_{1}}}=\frac{0,1+{{d}_{1}}+0,4-{{d}_{1}}}{(0,4-{{d}_{1}})\cdot (0,1+{{d}_{1}})},\frac{0,5}{(0,5-{{d}_{1}})\cdot {{d}_{1}}}=\frac{0,5}{(0,4-{{d}_{1}})\cdot (0,1+{{d}_{1}})}, \\
 & \frac{1}{(0,5-{{d}_{1}})\cdot {{d}_{1}}}=\frac{1}{(0,4-{{d}_{1}})\cdot (0,1+{{d}_{1}})},(0,5-{{d}_{1}})\cdot {{d}_{1}}=(0,4-{{d}_{1}})\cdot (0,1+{{d}_{1}}), \\
 & 0,5\cdot {{d}_{1}}-d_{1}^{2}=0,04+0,4\cdot {{d}_{1}}-{{d}_{1}}\cdot 0,1-d_{1}^{2},0,5\cdot {{d}_{1}}=0,04+0,3\cdot {{d}_{1}}, \\
 & 0,2\cdot {{d}_{1}}=0,04,{{d}_{1}}=\frac{0,04}{0,2}=0,2, \\
 & {{f}_{1}}=0,5-0,2=0,3,{{f}_{2}}=0,4-0,2=0,2,{{d}_{2}}=0,1+0,2=0,3. \\
\end{align}
 \]

Определить увеличение изображения для обоих положений линзы.

\[ \Gamma =\frac{f}{d},{{\Gamma }_{1}}=\frac{0,3}{0,2}=1,5.{{\Gamma }_{1}}=\frac{0,2}{0,3}=\frac{2}{3}. \]

В первом случае предмет находится между линзой и первым фокусом, во втором случае предмет находится между вторым и первым случаем. В первом случае изображение увеличенное во втором уменьшенное.
Ответ: 1,5, 0,67.