Решение. (Стандартное решение задачи в общем виде без учета симметрии).
Электроемкость конденсатора напряжение и заряд на обкладках конденсатора связаны между собой
q = С∙U.
Выберем обход контура по часовой стрелке.
Расставим знаки зарядов на пластинах конденсаторов: на одной пластине конденсатора ёмкостью
C будет заряд
+q, а на другой пластине — заряд
-q.
Рассмотрим контур
2,4,3, ЭДС в этом контуре нет, точки изолированы. Для точек
2,4 и
3 алгебраическая сумма зарядов на прилегающих пластинах конденсаторов равна нулю.
Составим уравнения для точек
2, 4 и
3\[ \begin{align}
& 2)-{{q}_{1}}+{{q}_{2}}+{{q}_{4}}=0,-C\cdot {{U}_{1}}+C\cdot {{U}_{2}}+C\cdot {{U}_{4}}=0,-{{U}_{1}}+{{U}_{2}}+{{U}_{4}}=0(1), \\
& 4)-{{q}_{4}}-{{q}_{5}}+{{q}_{7}}=0,-C\cdot {{U}_{4}}-C\cdot {{U}_{5}}+C\cdot {{U}_{7}}=0,-{{U}_{4}}-{{U}_{5}}+{{U}_{7}}=0(2), \\
& 3)-{{q}_{3}}-{{q}_{2}}+{{q}_{5}}+{{q}_{6}}=0,-C\cdot {{U}_{3}}-C\cdot {{U}_{2}}+C\cdot {{U}_{5}}+C\cdot {{U}_{6}}=0,-{{U}_{2}}-{{U}_{3}}+{{U}_{5}}+{{U}_{6}}=0(3). \\
\end{align}
\]
Для нахождения мгновенных значений токов и напряжений на участках электрической цепи используются правила Кирхгофа. Если в контуре имеется только конденсатор, и источник ЭДС то второе правило Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма напряжений на всех конденсаторах равна алгебраической сумме всех ЭДС в указанном контуре.
Если конденсатор ёмкостью
C проходится от положительной обкладки к отрицательной (то есть по направлению электрического поля в конденсаторе), то перед напряжением ставится плюс, а если конденсатор проходится от отрицательной обкладки к положительной, то перед напряжением ставится минус, электродвижущую силу берем со знаком плюс если она повышает потенциал по направлению обхода (переходим от минуса к плюсу), и со знаком минус, если понижает. Цепь состоит из четырех независимых контуров:
1-2-3-1, 2-4-3-2, 3-4-5-3, 1-3-5-1.\[ \begin{align}
& 1-2-3-1){{U}_{1}}+{{U}_{2}}-{{U}_{3}}=0(4), \\
& 2-4-3-2){{U}_{4}}-{{U}_{5}}-{{U}_{2}}=0(5), \\
& 3-4-5-3){{U}_{5}}+{{U}_{7}}-{{U}_{6}}=0(6), \\
& 1-3-5-1){{U}_{3}}+{{U}_{6}}=E(7). \\
\end{align} \]
Решим полученную систему уравнений (1) – (7). Из первого уравнения выразим
U4, из четвертого
U3 из шестого
U6 и подставим в оставшиеся уравнения
\[ \begin{align}
& {{U}_{4}}={{U}_{1}}-{{U}_{2}}(1),{{U}_{3}}={{U}_{1}}+{{U}_{2}}(4),{{U}_{6}}={{U}_{5}}+{{U}_{7}}(6), \\
& -{{U}_{1}}+{{U}_{2}}-{{U}_{5}}+{{U}_{7}}=0(2),-{{U}_{2}}-{{U}_{1}}-{{U}_{2}}+{{U}_{5}}+{{U}_{5}}+{{U}_{7}}=0, \\
& -2\cdot {{U}_{2}}-{{U}_{1}}+2\cdot {{U}_{5}}+{{U}_{7}}=0(3),{{U}_{1}}-{{U}_{2}}-{{U}_{5}}-{{U}_{2}}=0,{{U}_{1}}-2\cdot {{U}_{2}}-{{U}_{5}}=0(5), \\
& {{U}_{1}}+{{U}_{2}}+{{U}_{5}}+{{U}_{7}}=E(7). \\
& -{{U}_{1}}+{{U}_{2}}-{{U}_{5}}+{{U}_{7}}=0(2), \\
& -{{U}_{1}}-2\cdot {{U}_{2}}+2\cdot {{U}_{5}}+{{U}_{7}}=0(3), \\
& {{U}_{1}}-2\cdot {{U}_{2}}-{{U}_{5}}=0(5), \\
& {{U}_{1}}+{{U}_{2}}+{{U}_{5}}+{{U}_{7}}=E(7). \\
\end{align}
\]
Получим четыре уравнения (2), (3), (5), (7), от второго уравнения отнимем третье уравнение и результат подставим в (5)
\[ \begin{align}
& 3\cdot {{U}_{2}}-3\cdot {{U}_{5}}=0,{{U}_{2}}={{U}_{5}}(2-3), \\
& {{U}_{1}}-2\cdot {{U}_{5}}-{{U}_{5}}=0,{{U}_{1}}=3\cdot {{U}_{5}},{{U}_{5}}=\frac{{{U}_{1}}}{3},{{U}_{2}}={{U}_{5}}=\frac{{{U}_{1}}}{3}(5). \\
\end{align} \]
(5) подставим в (2) и (7) определим
U1\[ \begin{align}
& -{{U}_{1}}+\frac{{{U}_{1}}}{3}-\frac{{{U}_{1}}}{3}+{{U}_{7}}=0,{{U}_{7}}={{U}_{1}}(2), \\
& {{U}_{1}}+2\cdot \frac{{{U}_{1}}}{3}+{{U}_{1}}=E(7),E=\frac{3\cdot {{U}_{1}}+2\cdot {{U}_{1}}+3\cdot {{U}_{1}}}{3},E=\frac{8\cdot {{U}_{1}}}{3}, \\
& {{U}_{1}}=\frac{3\cdot E}{8}. \\
\end{align} \]
