Длина нити первого математического маятника

[Антон Огурцевич]

Длина нити первого математического маятника равна 0,72 м, второго – 0,5 м. Массы маятников одинаковы. Маятники совершают гармонические колебания, при которых их полные энергии равны между собой. Определить отношение величины максимального перемещения грузика на первой нити к величине максимального перемещения грузика на второй нити. При малых колебаниях считать sin(α)≈α, cos(α)≈1-a²/2. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической энергии:

\[ \begin{align}
  & E={{E}_{p}}={{E}_{k}}.{{E}_{p}}=m\cdot g\cdot h(1),\frac{l-h}{l}=\cos \alpha ,\cos \alpha =1-\frac{{{\alpha }^{2}}}{2},\frac{l-h}{l}=1-\frac{{{\alpha }^{2}}}{2}, \\
 & h=l\cdot (1-1+\frac{{{\alpha }^{2}}}{2}),h=l\cdot \frac{{{\alpha }^{2}}}{2}(2).{{E}_{p}}=m\cdot g\cdot l\cdot \frac{{{\alpha }^{2}}}{2}(3). \\
 & \sin \alpha \approx tg\alpha =\alpha ,\frac{x}{l}=\alpha (4),{{E}_{p}}=m\cdot g\cdot l\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2\cdot {{l}^{2}}},{{E}_{p}}=m\cdot g\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2\cdot l}(3). \\
 & {{E}_{p1}}={{E}_{p2}},{{E}_{p1}}=m\cdot g\cdot \frac{x_{1}^{2}}{2\cdot {{l}_{1}}},{{E}_{p2}}=m\cdot g\cdot \frac{x_{2}^{2}}{2\cdot {{l}_{2}}},m\cdot g\cdot \frac{x_{1}^{2}}{2\cdot {{l}_{1}}}=m\cdot g\cdot \frac{x_{2}^{2}}{2\cdot {{l}_{2}}}, \\
 & \frac{x_{1}^{2}}{{{l}_{1}}}=\frac{x_{2}^{2}}{{{l}_{2}}},\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}=\frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}},\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\sqrt{\frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}}(4). \\
 & \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\sqrt{\frac{0,72}{0,5}}=1,2. \\
\end{align} \]

Ответ: 1,2 раза.