Водород

[Антон Огурцевич]

Задание 2. Водород, находящийся в состоянии 1 при давлении р₁ = 0,25 МПа, температуре Т₁ = 550 К и занимающий объём V₁ = 2,5 л, изохорно перевели в состояние 2 с давлением р₂ = 0,5 МПа. Затем адиабатно объём газа был увеличен в 1,5 раза. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершённую газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведённой к газу теплоты. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
1→2– изохорный процесс V = соnst, р/Т = соnst. V₁ = V₂.
Определим Т₂

\[ \frac{{{p}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{2}}}{{{T}_{2}}},{{T}_{2}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{T}_{1}}}{{{p}_{1}}}.{{T}_{2}}=\frac{0,5\cdot {{10}^{6}}\cdot 550}{0,25\cdot {{10}^{6}}}=1100. \]

При изохорном процессе ∆V = 0, А = 0.

\[ \begin{align}
  & Q=\Delta U,\Delta U=\frac{\iota }{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}}),p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T,{{T}_{1}}=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R},{{T}_{2}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R}, \\
 & \Delta U=\frac{\iota }{2}\cdot \nu \cdot R\cdot (\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R}-\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R}),\Delta U=\frac{\iota }{2}\cdot ({{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}-{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}),\Delta U=\frac{\iota }{2}\cdot {{V}_{1}}\cdot ({{p}_{2}}-{{p}_{1}}), \\
 & \Delta U=\frac{5}{2}\cdot 2,5\cdot {{10}^{-3}}\cdot (0,5\cdot {{10}^{6}}-0,25\cdot {{10}^{6}})=1563. \\
\end{align} \]

Ответ: Т₂ = 1100 К, А = 0, ∆U = 1563 Дж, Q = 1563 Дж.
Где ι = 5, так как водород двухатомный газ, R = 8,31 Дж/моль∙К, R – универсальная газовая постоянная.
 2 → 3 – адиабатный процесс Q = 0, р∙V^γ = соnst.
Определим показатель адиабаты для водорода, γ – показатель адиабаты,

\[ \gamma =\frac{{{C}_{p}}}{{{C}_{V}}}(1)\ . \]

С_р и С_V – теплоемкость при изобарном и изохорном процессе.
Теплоемкость газа при изобарном процессе связана с теплоемкостью газа при изохорном процессе соотношением (уравнение Майера):

\[ {{C}_{p}}={{C}_{V}}+R,\gamma =\frac{{{C}_{V}}+R}{{{C}_{V}}},\gamma =1+\frac{R}{{{C}_{V}}},{{C}_{V}}=\frac{i}{2}\cdot R,\gamma =\frac{i+2}{i},i=5,\gamma =\frac{7}{5}=1,4.

 \]

\[ \begin{align}
  & {{V}_{3}}=1,5\cdot {{V}_{1}},{{V}_{3}}=1,5\cdot 2,5\cdot {{10}^{-3}}=3,75\cdot {{10}^{-3}}. \\
 & {{p}_{2}}\cdot V_{1}^{\gamma }={{p}_{3}}\cdot V_{3}^{\gamma },{{p}_{3}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot V_{1}^{\gamma }}{V_{3}^{\gamma }},{{p}_{3}}={{p}_{2}}\cdot {{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{3}}})}^{\gamma }},{{p}_{3}}=0,5\cdot {{10}^{6}}\cdot {{(\frac{2,5\cdot {{10}^{-3}}}{3,75\cdot {{10}^{-3}}})}^{1.4}}=0,28\cdot {{10}^{6}}. \\
 & T\cdot {{V}^{\gamma -1}}=const,{{T}_{2}}\cdot {{V}_{1}}^{\gamma -1}={{T}_{3}}\cdot {{V}_{3}}^{\gamma -1}, \\
 & {{T}_{3}}={{T}_{2}}\cdot {{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{3}}})}^{\gamma -1}},{{T}_{3}}=1100\cdot {{(\frac{2,5\cdot {{10}^{-3}}}{3,75\cdot {{10}^{-3}}})}^{1,4-1}}=935. \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & A=-\nu \cdot {{C}_{V}}\cdot \int\limits_{{{T}_{2}}}^{{{T}_{3}}}{dT=-}\nu \cdot {{C}_{V}}\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}}),{{C}_{V}}=\frac{i}{2}\cdot R,i=5, \\
 & A=-\nu \cdot \frac{i}{2}\cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}}),{{T}_{3}}=\frac{{{p}_{3}}\cdot {{V}_{3}}}{\nu \cdot R},{{T}_{2}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R}, \\
 & A=-\nu \cdot \frac{i}{2}\cdot R\cdot (\frac{{{p}_{3}}\cdot {{V}_{3}}}{\nu \cdot R}-\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R}),A=-\frac{i}{2}\cdot ({{p}_{3}}\cdot {{V}_{3}}-{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}), \\
 & A=-\frac{5}{2}\cdot (0,28\cdot {{10}^{6}}\cdot 3,75\cdot {{10}^{-3}}-0,5\cdot {{10}^{6}}\cdot 2,5\cdot {{10}^{-3}})=500. \\
 & \Delta U=-A.\Delta U=-500. \\
\end{align} \]

Ответ: р₃ = 0,28∙10⁶ Па, Т₃ = 935 К, Q = 0, А = 500 Дж, ∆U = -500 Дж.