Азот

[Антон Огурцевич]

Задание 1. Азот, находившийся в состоянии 1 с параметрами p₁ = 0,2 МПа, Т₁ = 450 К, V₁ = 2 л, изотермически перевели в состояние 2 с объёмом V₂ = 6 л. Затем адиабатно объём газа был увеличен до V₃ = 9 л. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершённую газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведённой к газу теплоты. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
1→2– изотермический процесс Т = соnst, р ∙V = соnst. Т₁ = Т₂, ∆U = 0, Q = А.
Азот двухатомный газ ι = 5, R = 8,31 Дж/моль∙К, R – универсальная газовая постоянная.

\[ {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}={{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}},{{p}_{2}}=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{{{V}_{2}}},{{p}_{2}}=\frac{0,2\cdot {{10}^{6}}\cdot 2\cdot {{10}^{-3}}}{6\cdot {{10}^{-3}}}=0,67\cdot {{10}^{5}}. \]

Работа газа при изотермическом процессе определяется по формуле:

\[ \begin{align}
  & A=\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{2}}}{pdV.} \\
 & A={{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{2}}}{\frac{dV}{V}}={{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}\cdot \ln \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}.A=0,2\cdot {{10}^{6}}\cdot 2\cdot {{10}^{-3}}\cdot \ln \frac{6\cdot {{10}^{-3}}}{2\cdot {{10}^{-3}}}=439. \\
\end{align} \]

Ответ: Т₂ = 450 К, ∆U = 0, А = 439 Дж, Q = 439 Дж,
2 → 3 – адиабатный процесс Q = 0, р∙V^γ = соnst.
Определим показатель адиабаты для азота, γ – показатель адиабаты,

\[ \gamma =\frac{{{C}_{p}}}{{{C}_{V}}}(1)\ .
 \]

С_р и С_V – теплоемкость при изобарном и изохорном процессе.
Теплоемкость газа при изобарном процессе связана с теплоемкостью газа при изохорном процессе соотношением (уравнение Майера):

\[ {{C}_{p}}={{C}_{V}}+R,\gamma =\frac{{{C}_{V}}+R}{{{C}_{V}}},\gamma =1+\frac{R}{{{C}_{V}}},{{C}_{V}}=\frac{i}{2}\cdot R,\gamma =\frac{i+2}{i},i=5,\gamma =\frac{7}{5}=1,4.
 \]

\[ \begin{align}
  & {{p}_{2}}\cdot V_{2}^{\gamma }={{p}_{3}}\cdot V_{3}^{\gamma },{{p}_{3}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot V_{2}^{\gamma }}{V_{3}^{\gamma }},{{p}_{3}}={{p}_{2}}\cdot {{(\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{3}}})}^{\gamma }},{{p}_{3}}=0,67\cdot {{10}^{5}}\cdot {{(\frac{6\cdot {{10}^{-3}}}{9\cdot {{10}^{-3}}})}^{1.4}}=0,38\cdot {{10}^{5}}. \\
 & T\cdot {{V}^{\gamma -1}}=const,{{T}_{2}}\cdot {{V}_{2}}^{\gamma -1}={{T}_{3}}\cdot {{V}_{3}}^{\gamma -1}, \\
 & {{T}_{3}}={{T}_{2}}\cdot {{(\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{3}}})}^{\gamma -1}},{{T}_{3}}=450\cdot {{(\frac{6\cdot {{10}^{-3}}}{9\cdot {{10}^{-3}}})}^{1,4-1}}=383. \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & A=-\nu \cdot {{C}_{V}}\cdot \int\limits_{{{T}_{2}}}^{{{T}_{3}}}{dT=-}\nu \cdot {{C}_{V}}\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}}),{{C}_{V}}=\frac{i}{2}\cdot R,i=5, \\
 & A=-\nu \cdot \frac{i}{2}\cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}}),{{T}_{3}}=\frac{{{p}_{3}}\cdot {{V}_{3}}}{\nu \cdot R},{{T}_{2}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R}, \\
 & A=-\nu \cdot \frac{i}{2}\cdot R\cdot (\frac{{{p}_{3}}\cdot {{V}_{3}}}{\nu \cdot R}-\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R}),A=-\frac{i}{2}\cdot ({{p}_{3}}\cdot {{V}_{3}}-{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}), \\
 & A=-\frac{5}{2}\cdot (0,38\cdot {{10}^{5}}\cdot 9\cdot {{10}^{-3}}-0,67\cdot {{10}^{5}}\cdot 6\cdot {{10}^{-3}})=150. \\
 & \Delta U=-A.\Delta U=-150. \\
\end{align} \]

Ответ: р₃ = 0,38∙10⁵ Па, Т₃ = 383 К, Q = 0, А = 150 Дж, ∆U = -150 Дж.