В вертикальном цилиндре находится под поршнем газ

[Антон Огурцевич]

В вертикальном цилиндре находится под поршнем газ при температуре 400 К. Масса поршня 4 кг, площадь поршня 0,004 м². Какой массы (в килограммах) груз надо положить на поршень, чтобы он оказался на прежней высоте после нагревания газа на 100 К? Атмосферное давление 10⁵ Па. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Запишем уравнение Клапейрона

\[ \frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{{{T}_{2}}}(1). \]

По условию задачи поршень оказался на прежней высоте

V₁ = V₂ = V    (2).

Давление под поршнем в первом и втором случае определим по формулам

\[ \begin{align}
  & {{p}_{1}}={{p}_{0}}+\frac{{{m}_{1}}\cdot g}{S}(3),{{p}_{2}}={{p}_{0}}+\frac{{{m}_{1}}\cdot g+{{m}_{2}}\cdot g}{S}(4),{{T}_{2}}={{T}_{1}}+\Delta T(5). \\
 & \frac{({{p}_{0}}+\frac{{{m}_{1}}\cdot g}{S})\cdot V}{{{T}_{1}}}=\frac{({{p}_{0}}+\frac{{{m}_{1}}\cdot g+{{m}_{2}}\cdot g}{S})\cdot V}{{{T}_{1}}+\Delta T},\frac{{{p}_{0}}+\frac{{{m}_{1}}\cdot g}{S}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{0}}+\frac{{{m}_{1}}\cdot g+{{m}_{2}}\cdot g}{S}}{{{T}_{1}}+\Delta T}, \\
 & {{p}_{0}}+\frac{{{m}_{1}}g}{S}+\frac{{{m}_{2}}\cdot g}{S}=\frac{({{p}_{0}}+\frac{{{m}_{1}}\cdot g}{S})\cdot ({{T}_{1}}+\Delta T)}{{{T}_{1}}},\frac{{{m}_{2}}\cdot g}{S}=\frac{({{p}_{0}}+\frac{{{m}_{1}}\cdot g}{S})\cdot ({{T}_{1}}+\Delta T)}{{{T}_{1}}}-({{p}_{0}}+\frac{{{m}_{1}}g}{S}), \\
 & {{m}_{2}}=\frac{S}{g}\cdot (\frac{({{p}_{0}}+\frac{{{m}_{1}}\cdot g}{S})\cdot ({{T}_{1}}+\Delta T)}{{{T}_{1}}}-({{p}_{0}}+\frac{{{m}_{1}}g}{S}))(6). \\
 & {{m}_{2}}=\frac{0,004}{10}\cdot (\frac{({{10}^{5}}+\frac{4\cdot 10}{0,004})\cdot (400+100)}{400}-({{10}^{5}}+\frac{4\cdot 10}{0,004}))=11. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 11 кг.