Решение.
1) По условию задачи лампочка горит нормально, действующее напряжение на лампочке
UR = 110 В, определим амплитудное напряжение на лампочке, действующую силу тока
I и амплитудную силу тока
I0\[ U=\frac{{{U}_{0}}}{\sqrt{2}},{{U}_{0R}}={{U}_{R}}\cdot \sqrt{2}(1).P=I\cdot {{U}_{R}},I=\frac{P}{{{U}_{R}}}(2),I=\frac{{{I}_{0}}}{\sqrt{2}},{{I}_{0}}=I\cdot \sqrt{2},{{I}_{0}}=\frac{P}{{{U}_{R}}}\cdot \sqrt{2}(3).
\]
U0R – амплитудное напряжение на лампочке с сопротивлением
R.
Конденсатор и лампочка включены в цепь последовательно, используя закономерности последовательного соединения определим амплитудное напряжение на конденсаторе
U0С\[ {{U}_{0}}={{U}_{0R}}+{{U}_{0C}},{{U}_{0C}}={{U}_{0}}-{{U}_{0R}}(4). \]
Используя закон Ома для участка цепи определим емкостное сопротивление конденсатора и емкость конденсатора
\[ \begin{align}
& {{I}_{0}}=\frac{{{U}_{0C}}}{{{X}_{C}}},{{X}_{C}}=\frac{{{U}_{0C}}}{{{I}_{0}}},{{X}_{C}}=\frac{({{U}_{0}}-{{U}_{R}}\cdot \sqrt{2})\cdot {{U}_{R}}}{P\cdot \sqrt{2}}(5). \\
& {{X}_{C}}=\frac{1}{\omega \cdot C},\omega =2\cdot \pi \cdot \nu ,{{X}_{C}}=\frac{1}{2\cdot \pi \cdot \nu \cdot C},C=\frac{1}{2\cdot \pi \cdot \nu \cdot {{X}_{C}}}, \\
& C=\frac{P\cdot \sqrt{2}}{2\cdot \pi \cdot \nu \cdot ({{U}_{0}}-{{U}_{R}}\cdot \sqrt{2})\cdot {{U}_{R}}}(6). \\
& C=\frac{55\cdot \sqrt{2}}{2\cdot 3,14\cdot 50\cdot (440-110\cdot \sqrt{2})\cdot 110}=7,8\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]
2) Определим разность фаз между током и напряжением в сети
\[ \begin{align}
& P=\frac{{{U}^{2}}}{R},R=\frac{{{U}^{2}}}{P}(7),tg\varphi =\frac{{{X}_{L}}-{{X}_{C}}}{R},{{X}_{L}}=0,tg\varphi =\frac{-{{X}_{C}}}{R},tg\varphi ==\frac{-\frac{1}{2\cdot \pi \cdot \nu \cdot C}}{R}\ \ \ (8), \\
& tg\varphi =\frac{-\frac{1}{2\cdot \pi \cdot \nu \cdot C}\cdot P}{{{U}^{2}}},tg\varphi =\frac{-P}{2\cdot \pi \cdot \nu \cdot C\cdot {{U}^{2}}}\ \ \ (9). \\
& tg\varphi =\frac{-55}{2\cdot 3,14\cdot 50\cdot 7,8\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{110}^{2}}}=-1,8859. \\
& \varphi =-{{62}^{0}}. \\
\end{align} \]
Ответ: 7,8∙10
-6 Ф, -62º.
