Кислород

[Антон Огурцевич]

Задание 3. Кислород, находящийся в состоянии 1 при давлении р₁ = 0,25 МПа, температуре Т₁ = 550 К и занимающий объём V₁ = 2,5 л, изохорно перевели в состояние 2 с температурой Т₂ = 650 К. Затем адиабатно давление газа было уменьшено в 2 раза. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершённую газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведённой к газу теплоты. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
1→2– изохорный процесс V = соnst, р/Т = соnst. V₁ = V₂.
Определим р₂

\[ \frac{{{p}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{2}}}{{{T}_{2}}},{{p}_{2}}=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}.{{p}_{2}}=\frac{0,25\cdot {{10}^{6}}\cdot 650}{550}=0,3\cdot {{10}^{6}}. \]

При изохорном процессе ∆V = 0, А = 0.

\[ \begin{align}
  & Q=\Delta U,\Delta U=\frac{\iota }{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}}),p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T,{{T}_{1}}=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R},{{T}_{2}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R}, \\
 & \Delta U=\frac{\iota }{2}\cdot \nu \cdot R\cdot (\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R}-\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R}),\Delta U=\frac{\iota }{2}\cdot ({{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}-{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}),\Delta U=\frac{\iota }{2}\cdot {{V}_{1}}\cdot ({{p}_{2}}-{{p}_{1}}), \\
 & \Delta U=\frac{5}{2}\cdot 2,5\cdot {{10}^{-3}}\cdot (0,3\cdot {{10}^{6}}-0,2\cdot {{10}^{6}})=625. \\
\end{align} \]

Ответ: р₂ =0,3∙10⁶ Па, А = 0, ∆U = 625 Дж, Q = 625 Дж.
Где ι = 5, так как кислород двухатомный газ, R = 8,31 Дж/моль∙К, R – универсальная газовая постоянная.
 2 → 3 – адиабатный процесс Q = 0, р∙V^γ = соnst.
Определим показатель адиабаты для кислорода, γ – показатель адиабаты,

\[ \gamma =\frac{{{C}_{p}}}{{{C}_{V}}}(1)\ . \]

С_р и С_V – теплоемкость при изобарном и изохорном процессе.
Теплоемкость газа при изобарном процессе связана с теплоемкостью газа при изохорном процессе соотношением (уравнение Майера):

\[ {{C}_{p}}={{C}_{V}}+R,\gamma =\frac{{{C}_{V}}+R}{{{C}_{V}}},\gamma =1+\frac{R}{{{C}_{V}}},{{C}_{V}}=\frac{i}{2}\cdot R,\gamma =\frac{i+2}{i},i=5,\gamma =\frac{7}{5}=1,4.
 \]

\[ \begin{align}
  & {{p}_{3}}=\frac{1}{2}\cdot {{p}_{2}},{{p}_{3}}=\frac{1}{2}\cdot 0,25\cdot {{10}^{6}}=0,125\cdot {{10}^{6}}. \\
 & {{p}_{2}}\cdot V_{1}^{\gamma }={{p}_{3}}\cdot V_{3}^{\gamma },V_{3}^{\gamma }=\frac{{{p}_{2}}\cdot V_{1}^{\gamma }}{{{p}_{3}}},{{V}_{3}}={{V}_{1}}\cdot \sqrt[\gamma ]{\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{3}}}},{{V}_{3}}=2,5\cdot {{10}^{-3}}\cdot \sqrt[^{1.4}]{\frac{0,25\cdot {{10}^{6}}}{0,125\cdot {{10}^{6}}}}=4,1\cdot {{10}^{-3}}. \\
 & T\cdot {{V}^{\gamma -1}}=const,{{T}_{2}}\cdot {{V}_{1}}^{\gamma -1}={{T}_{3}}\cdot {{V}_{3}}^{\gamma -1}, \\
 & {{T}_{3}}={{T}_{2}}\cdot {{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{3}}})}^{\gamma -1}},{{T}_{3}}=650\cdot {{(\frac{2,5\cdot {{10}^{-3}}}{4,1\cdot {{10}^{-3}}})}^{1,4-1}}=533. \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & A=-\nu \cdot {{C}_{V}}\cdot \int\limits_{{{T}_{2}}}^{{{T}_{3}}}{dT=-}\nu \cdot {{C}_{V}}\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}}),{{C}_{V}}=\frac{i}{2}\cdot R,i=5, \\
 & A=-\nu \cdot \frac{i}{2}\cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}}),{{T}_{3}}=\frac{{{p}_{3}}\cdot {{V}_{3}}}{\nu \cdot R},{{T}_{2}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R}, \\
 & A=-\nu \cdot \frac{i}{2}\cdot R\cdot (\frac{{{p}_{3}}\cdot {{V}_{3}}}{\nu \cdot R}-\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{\nu \cdot R}),A=-\frac{i}{2}\cdot ({{p}_{3}}\cdot {{V}_{3}}-{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}), \\
 & A=-\frac{5}{2}\cdot (0,125\cdot {{10}^{6}}\cdot 4,1\cdot {{10}^{-3}}-0,25\cdot {{10}^{6}}\cdot 2,5\cdot {{10}^{-3}})=281,25. \\
 & \Delta U=-A.\Delta U=-281,25 \\
\end{align} \]

Ответ: V₃ = 4,1∙10^-3 м³, Т₃ = 533 К, Q = 0, А = 281,25 Дж, ∆U = -281,25 Дж.