Система состоит из трёх бесконечно длинных проводников

[Антон Огурцевич]

7. Система состоит из трёх бесконечно длинных проводников (см. рис.), один из которых изогнут, а два остальных имеют прямолинейную форму. Найти магнитную индукцию в т.О, если r = 0,5 см, I = 2 А и θ = 122°. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Для решения задачи необходимы: μ₀ = 4∙π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная.
Для определения направления вектора магнитной индукции для каждого участка в точке О применим правило правой руки: если мысленно обхватить проводник правой рукой, так чтобы большой палец показывал направление тока, то согнутые остальные пальцы покажут направление линий магнитной индукции в точке О. Вектор магнитной индукции направлен по касательной к линиям магнитной индукции в точке О.
Магнитная индукция, создаваемая проводником с током на расстоянии r от бесконечно длинного проводника определим по формуле:

\[
\begin{align}
  & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot \pi \cdot r},\ {{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{1}}}\ \ \ (1),\ {{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{2}}}\ \ \ (2). \\
 & {{B}_{12}}=\sqrt{B_{1}^{2}+B_{2}^{2}+2\cdot {{B}_{1}}\cdot {{B}_{2}}\cdot \cos \alpha }(3). \\
 & {{B}_{1}}=\frac{4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}\cdot 2}{2\cdot 3,14\cdot 0,5\cdot {{10}^{-2}}}=8\cdot {{10}^{-5}},{{B}_{2}}=8\cdot {{10}^{-5}}. \\
 & {{B}_{12}}=8\cdot {{10}^{-5}}\cdot \sqrt{2\cdot (1+\cos \alpha )}(4). \\
\end{align}
 \]

Определим магнитную индукцию изогнутого проводника в точке О.
Рассмотрим три участка, АВ, ВС, СД.

\[ {{\vec{B}}_{AD}}={{\vec{B}}_{AB}}+{{\vec{B}}_{BC}}+{{\vec{B}}_{CD}}\ \ \ \ (5).\  \]

Покажем рисунок. Магнитная индукция от участков АВ и СD равна нулю, так как точка О лежит на оси этих проводов.
В_АD = В_ВС    (6)
Определим модуль вектора магнитной индукции на участке ВС. Участок представляет дугу, равную половине окружности радиусом R. Магнитная индукция в центре кругового витка с током определяется по формуле (7) и магнитная индукция на участке ВС будет равна (8  )

\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot r}(7),\ {{B}_{BC}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot r}\ \ \ (8\,).{{B}_{BC}}=\frac{4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}\cdot 2}{4\cdot 0,5\cdot {{10}^{-2}}}=12,56\cdot {{10}^{-5}}. \]

Используя теорему Пифагора определим индукцию в точке О

\[
\begin{align}
  & B=\sqrt{B_{BC}^{2}+B_{12}^{2}}(9).B={{10}^{-5}}\cdot \sqrt{{{(12,56)}^{2}}+{{8}^{2}}\cdot 2\cdot (1+\cos \alpha )}(10). \\
 & \alpha =360{}^\circ -90{}^\circ -90{}^\circ -\theta ,\alpha =180{}^\circ -\theta (11). \\
 & B={{10}^{-5}}\cdot \sqrt{{{(12,56)}^{2}}+{{8}^{2}}\cdot 2\cdot (1+\cos (180{}^\circ -122{}^\circ ))}={{10}^{-5}}\cdot \sqrt{{{(12,56)}^{2}}+{{8}^{2}}\cdot 2\cdot (1+\cos 58{}^\circ )}= \\
 & ={{10}^{-5}}\cdot \sqrt{{{(12,56)}^{2}}+{{8}^{2}}\cdot 2\cdot (1+0,53)}=18,8\cdot {{10}^{-5}}. \\
\end{align}
 \]

Ответ: В = 18,8∙10^-5 Тл.