Бесконечно длинный провод с током

[Антон Огурцевич]

4. Бесконечно длинный провод с током I = 100 А изогнут так, как это показано на рисунке. В плоскости, в которой лежит изогнутый провод, пролетает протон по направлению к точке О со скоростью ν = 10⁶ м/с. Определить величину и направление силы Лоренца, действующую на протон, в точке О, если радиус закругления R = 5 см. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Для решения задачи необходимы: μ₀ = 4∙π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная.
Для определения направления вектора магнитной индукции для каждого участка в точке О применим правило правой руки: если мысленно обхватить проводник правой рукой, так чтобы большой палец показывал направление тока, то согнутые остальные пальцы покажут направление линий магнитной индукции в точке О. Вектор магнитной индукции направлен по касательной к линиям магнитной индукции в точке О.
Определим магнитную индукцию изогнутого проводника в точке О.
Рассмотрим три участка, АВ, ВС, СD, DЕ и ЕК.

\[ \begin{align}
  & \vec{B}={{{\vec{B}}}_{AB}}+{{{\vec{B}}}_{BC}}+{{{\vec{B}}}_{CD}}+{{{\vec{B}}}_{DE}}\ +{{{\vec{B}}}_{EK}}, \\
 & B=\ {{B}_{AB}}+{{B}_{BC}}+{{B}_{CD}}+{{B}_{DE}}\ +{{B}_{EK}}\ \ (1).\  \\
\end{align} \]

Покажем рисунок. Магнитная индукция от участков АВ и ЕК равна нулю, так как точка О лежит на оси этих проводов.
Определим модуль вектора магнитной индукции на участке ВС и DЕ. Участок представляет дугу, равную четверти окружности радиусом R. Магнитная индукция в центре кругового витка с током определяется по формуле (2) и магнитная индукция на участке ВС  и DЕ будет равна

\[ \begin{align}
  & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot r}(2),\ {{B}_{BC}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R}\ \ \ (3\,).{{B}_{DE}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R}\ \ \ (4\,). \\
 & {{B}_{BC}}=\frac{4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}\cdot 100}{4\cdot 2\cdot 0,5\cdot {{10}^{-2}}}=3,14\cdot {{10}^{-3}}.{{B}_{DE}}=\frac{4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}\cdot 100}{4\cdot 2\cdot 0,5\cdot {{10}^{-2}}}=3,14\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align} \]

Определим модуль вектора магнитной индукции на участке СD. Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био -  Савара -  Лапласа.

\[ \begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot r}\cdot \sin \varphi d\varphi ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot r}\cdot \int\limits_{{{\varphi }_{1}}}^{{{\varphi }_{2}}}{\sin \varphi d\varphi ,} \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot r}\cdot (\cos {{\varphi }_{1}}-\cos {{\varphi }_{2}})\ \ \ (5). \\
\end{align}
 \]

Где: r - расстояние от т. О до проводника

\[ {{l}_{CD}}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{R}^{2}}},{{l}_{CD}}=\sqrt{2}\cdot R(6),{{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{(\frac{\sqrt{2}\cdot R}{2})}^{2}},r=\frac{R}{\sqrt{2}}(7). \]

Углы φ₁ и φ₂, образованные радиус-вектором, проведенным в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
Определим модуль вектора магнитной индукции на участке СD

\[ \begin{align}
  & {{\varphi }_{1}}=90{}^\circ ,{{\varphi }_{2}}=135{}^\circ . \\
 & {{B}_{CD}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot R}\cdot (\cos 90{}^\circ -\cos 135{}^\circ )\ ,\ {{B}_{AB}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \sqrt{2}\cdot R}\cdot (0-(-\frac{\sqrt{2}}{2}))\ , \\
 & {{B}_{CD}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \sqrt{2}\cdot R}\,\cdot \frac{\sqrt{2}}{2},{{B}_{CD}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R},(8). \\
 & {{B}_{CD}}=\frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 100}{4\cdot \pi \cdot 0,5\cdot {{10}^{-2}}}=2\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align} \]

Определим величину магнитной индукции В в точке О
В = 0 + 3,14∙10^-3 + 2∙10^-3 + 3,14∙10^-3  + 0 = 8,28∙10^-3  Тл.
Магнитная индукция направлена от нас.
На протон в точке О будет действовать сила Лоренца, направление которой перпендикулярно скорости.
Определим силу Лоренца

\[ {{F}_{L}}=\upsilon \cdot q\cdot B\cdot \sin \alpha ,\alpha =90{}^\circ ,\sin 90{}^\circ =1,{{F}_{L}}={{10}^{6}}\cdot 1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot 8,28\cdot {{10}^{-3}}=13,248\cdot {{10}^{-12}}. \]

Ответ: В = 8,28∙10^-3 Тл, F_L = 13,248∙10^-12 Н.