Решение.
В физике потенциальные силы (консервативные силы) — силы, работа которых не зависит от формы траектории (зависит только от начальной и конечной точки приложения сил). Консервативные силы — такие силы, работа по любой замкнутой траектории которых равна 0.
Если в системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется.
Консервативная сила является производной скалярной функции
W, определенной на векторном пространстве. Эта функция равна потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком.
\[ \begin{align}
& {{F}_{x}}=-\frac{dW}{dx},{{F}_{y}}=-\frac{dW}{dy}. \\
& \vec{F}=A\cdot y\cdot (y\cdot \vec{i}+2\cdot x\cdot \vec{j}),\vec{F}=A\cdot {{y}^{2}}\cdot \vec{i}+2\cdot A\cdot y\cdot x\cdot \vec{j},\vec{F}=-2\cdot {{y}^{2}}\cdot \vec{i}-4\cdot y\cdot x\cdot \vec{j}. \\
& {{F}_{x}}=-2\cdot {{y}^{2}}(1),{{F}_{y}}=-4\cdot y\cdot x(2). \\
& \frac{dW}{dx}=2\cdot {{y}^{2}}(3),\frac{dW}{dy}=4\cdot y\cdot x(4). \\
\end{align} \]
Определим потенциальную энергию проинтегрируем выражение (3) или (4)
\[ W=\int{2\cdot {{y}^{2}}}dx=2\cdot {{y}^{2}}\cdot x(5),W=\int{4\cdot y\cdot x}dy=2\cdot {{y}^{2}}\cdot x(6). \]
Работу этой силы по перемещению частицы определим, как изменение потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком
\[
\begin{align}
& {{A}_{12}}=-\Delta {{W}_{12}},{{A}_{12}}=-({{W}_{2}}-{{W}_{1}}),{{A}_{12}}=-(2\cdot y_{2}^{2}\cdot {{x}_{2}}-2\cdot y_{1}^{2}\cdot {{x}_{1}})(7). \\
& {{A}_{12}}=-(2\cdot {{(-3)}^{2}}\cdot 1-2\cdot {{1}^{2}}\cdot (-2))=-22. \\
\end{align}
\]
Ответ: 22 Дж.
