Воспользуемся законом сохранения энергии. Система зарядов обладает потенциальной энергией взаимодействия зарядов
Wq и потенциальной энергией деформированной пружины
Wk. Распишем эти энергии для двух крайних положений зарядов.
При максимальном сжатии, когда расстояние между зарядами равно
L, система обладает энергией:
\[ W_{1} = W_{q1} + W_{k1} = \frac{k_{1} \cdot q^{2}}{L} + \frac{k_{2} \cdot \Delta L_{1}^{2}}{2}, \]
где
k1 — коэффициент пропорциональности,
k2 — коэффициент жесткости пружины, Δ
L = 2
L – L = L.
При максимальном растяжении, когда расстояние между зарядами равно 4
L, система обладает энергией:
\[ W_{2} = \frac{k_{1} \cdot q^{2}}{4L} + \frac{k_{2} \cdot \Delta L_{2}^{2}}{2}, \]
где Δ
L2 = 4
L – 2
L = 2
L.
Из закона сохранения энергии следует, что
\[ W_{1} = W_{2}, \, \, \, \frac{k_{1} \cdot q^{2}}{L} + \frac{k_{2} \cdot L^{2}}{2} = \frac{k_{1} \cdot q^{2}}{4L} + \frac{k_{2} \cdot \left(2L \right)^{2}}{2}, \]
\[ \frac{3k_{1} \cdot q^{2}}{4L} = \frac{3k_{2} \cdot L^{2}}{2}, \, \, \, k_{2} = \frac{k_{1} \cdot q^{2}}{2L^{3}}. \]
