На цилиндр действуют сила тяжести (
m⋅g), сила реакции опоры (
N) и сила трения покоя (
Ftr), благодаря которой цилиндр катится без проскальзывания (рис. 1). Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для точки
А (точки соприкосновения цилиндра и опоры)
ε = M/J,
где
M = m⋅g⋅d — момент силы тяжести относительно точки
А (моменты силы трения и силы реакции опоры равны нулю),
d = AB = R⋅sin α — плечо силы тяжести (рис. 2), ε =
a/
R — угловое ускорение,
J — момент инерции цилиндра относительно точки
А. По теореме Штерна момент инерции тела относительно точки, смещенной на расстоянии
R от оси симметрии (точки
О) равен
J = J0 + m⋅R2.
Тогда
\[ \frac{a}{R} = \frac{m \cdot g \cdot R \cdot \sin \alpha}{J_{0} + m \cdot R^{2}}, \; \; a = \frac{m \cdot g \cdot R^{2} \cdot \sin \alpha}{J_{0} + m \cdot R^{2}}.\;\;\; (1) \]
Из уравнения (1) следует, что
чем больше момент инерции тела
J0 (относительно оси симметрии),
тем меньше ускорение тела.
Момент инерции первого (сплошного) цилиндра равен
J01 = 1/2⋅
m⋅R2, второго (полого) —
J02 =
m⋅R2. Третий цилиндр состоит из двух цилиндров: полого с моментом
J02 =
m⋅R2, и цилиндра из жидкости с моментом
J0 = 1/2⋅
m2⋅
R2 (
m2 — масса жидкости). Поэтому
J01 < J02 < J03
и
a1 > a2 > a3.
Ответ. А)
a1 >
a2 >
a3.
