Определить отношение масс

[Антон Огурцевич]

52. Частица массы m₁, летящая со скоростью v₁, испытывает упругое нецентральное столкновение с покоящейся частицей массы m₂. После столкновения частицы разлетаются под углом α со скоростями u₁ и u₂. Определить отношение m₂/m₁, если α = 85°; u₁ = 25 км/с; u₂ = 35 км/с. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Удар шаров упругий. При этом выполняются: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Запишем закон сохранения импульса.

\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}={{m}_{1}}\cdot {{\vec{u}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{u}}_{2}}(1). \]

Покажем рисунок. Если построить сумму этих векторов, то получим треугольник импульсов. Тогда по теореме косинусов получаем

\[ m_{1}^{2}\cdot \upsilon _{1}^{2}=m_{1}^{2}\cdot u_{1}^{2}+m_{2}^{2}\cdot u_{2}^{2}+2\cdot {{m}_{1}}\cdot {{u}_{1}}\cdot {{m}_{2}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha .\ \ \ (2). \]

Из закона сохранения энергии получаем

\[  \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}=\frac{{{m}_{1}}\cdot u_{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot u_{2}^{2}}{2},{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}={{m}_{1}}\cdot u_{1}^{2}+{{m}_{2}}\cdot u_{2}^{2}\ \ (3). \]

Решим систему уравнений (3) и (2)). Из (2) найдем квадрат скорости υ₁ и подставим в (3), выразим отношение m₂/m₁:

\[ \begin{align}
  & \upsilon _{1}^{2}=u_{1}^{2}+\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}\cdot u_{2}^{2}+2\cdot {{u}_{1}}\cdot \frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha ,{{m}_{1}}\cdot u_{1}^{2}+\frac{m_{2}^{2}}{{{m}_{1}}}\cdot u_{2}^{2}+2\cdot {{u}_{1}}\cdot {{m}_{2}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha ={{m}_{1}}\cdot u_{1}^{2}+{{m}_{2}}\cdot u_{2}^{2}, \\
 & \ u_{1}^{2}+\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}\cdot u_{2}^{2}+2\cdot {{u}_{1}}\cdot \frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha =u_{1}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\cdot u_{2}^{2},\  \\
 & \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}\cdot u_{2}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\cdot (2\cdot {{u}_{1}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha -u_{2}^{2})=0, \\
 & \frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\cdot u_{2}^{2}+2\cdot {{u}_{1}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha -u_{2}^{2}=0,\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}=\frac{u_{2}^{2}-2\cdot {{u}_{1}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha }{u_{2}^{2}}. \\
 & \frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}=\frac{{{35}^{2}}-2\cdot 25\cdot 35\cdot \cos 85{}^\circ }{{{35}^{2}}}=\frac{{{35}^{2}}-2\cdot 25\cdot 35\cdot 0,0872}{{{35}^{2}}}=0,875. \\
\end{align} \]