Репетиционное тестирование 1 этап 2010/2011

[alsak]

А18 вариант 1
Атом лития содержит три электрона. Заряд q ядра атома лития равен
1) -4,8·10^-19 Кл; 2) -1,6·10^-19 Кл; 3) +1,6·10^-19 Кл; 4) +4,8·10^-19 Кл;
А18 вариант 2
Атом бора содержит пять электронов. Заряд q ядра атома бора равен
1) -8,0·10^-19 Кл; 2) -1,6·10^-19 Кл; 3) +1,6·10^-19 Кл; 4) +8,0·10^-19 Кл;

Решение.
Атом нейтрален. Следовательно заряд ядра по модулю равен суммарному заряду электронов

q = n·e

где n – количество электронов, е – заряд электрона
Вариант 1
Ответ 4) +4,8·10-19 Кл;
Вариант 2
Ответ 4) +8,0·10-19 Кл;

[alsak]

B1 вариант 1
Камень, брошенный вертикально вниз с высоты h = 12 м, упал на поверхность Земли со скоростью, модуль которой υ = 17 м/с. Модуль начальной скорости υ₀ камня равен ... м/с.

Решение.
Для равноускоренного движения имеет место соотношение
\[ {{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}=2\cdot a\cdot S \]
Для нашего случая а = g, S = h
\[ {{\upsilon }_{0}}=\sqrt{{{\upsilon }^{2}}-2\cdot g\cdot h} \]
Ответ υ₀ = 7 м/с

[alsak]

B2 вариант 2
Санки массой m = 6 кг, находящиеся на горизонтальной поверхности, тянут за веревку, прилагая силу, модуль которой F = 33,4 Н, направленную под углом α = 60° к горизонту. Если коэффициент трения скольжения μ = 0,15, то модуль ускорения а санок равен ... м/с²

Решение.
На тело действуют сила F, сила тяжести mg, сила нормальной реакции опоры N и сила трения скольжения F_tr. По второму закону Ньютона:
\[ \vec{F}+{{\vec{F}}_{tr}}+\vec{N}+m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a} \]
В проекциях на оси координат

Ox: F·cosα – Ftr = m·a;    Oy: N - m·g + F·sinα = 0

Сила трения скольжения F_tr = μ·N, тогда с учетом второго уравнения системы

F_tr = μ·N = μ·( m·g - F·sinα)

Подставив силу трения в первое уравнение системы, получим
\[ a=\frac{F}{m}\cdot \left( \cos \alpha +\mu \cdot \sin \alpha  \right)-\mu \cdot g \]
Ответ 2 м/с²

[alsak]

B3 вариант 2
Вокруг вертикально расположенного стержня может вращаться насаженный на него гладкий горизонтальный диск (см. рис.). На диске находится маленький шарик, прикрепленный к стержню нитью длиной l=50 мм. Если при вращении диска нить составляет угол α = 30° со стержнем, а модуль силы натяжения нити в три раза больше модуля силы взаимодействия между шариком и диском, то частота ν вращения системы, равна... с^-1.

Решение.
Шарик движется по окружности в системе отсчета связанной с диском. Согласно второму закону Ньютона
\[ \vec{T}+\vec{N}+m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a} \]
В проекциях на оси координат

Ox: T·sinα = m·a; (1)
Oy: T·cosα + N - m·g = 0 (2)

По условию T = 3·N, радиус вращения a = 4·π²·ν²·R. Радиус вращения R = l·sinα
С учетом этого уравнения (1) и (2) перепишутся

3·N·sinα = m·4·π²·ν² l·sinα
3·N·cosα + N = m·g

Разделим уравнения и выразим частоту
\[ \nu =\sqrt{\frac{3\cdot g}{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot l\cdot \left( 3\cdot \cos \alpha +1 \right)}} \]
Ответ 2 с^-1.

[alsak]

B5 вариант 1
В баллоне под давлением р = 104 кПа при температуре Т₁ = 320 К находился кислород (М= 32,0 г/моль). После того, как из баллона откачали некоторую массу кислорода, его давление уменьшилось на Δр = 48,0 кПа, а температура понизилась до Т2 = 280 К. Если вместимость баллона V = 831 л, то масса m откачанного кислорода равна ... г.

Решение.
 Из уравнения Менделеева-Клайперона, масса газа в начальном и конечном состояниях равны соответственно
\[ {{m}_{1}}=\frac{M\cdot p\cdot V}{R\cdot {{T}_{1}}};\,\,\,\,{{m}_{2}}=\frac{M\cdot \left( p-\Delta p \right)\cdot V}{R\cdot {{T}_{2}}} \]
Масса откачанного кислорода

m = m₁-m₂

Ответ 400 г

[alsak]

B6 вариант 2
Воздушный шарик, объем которого V = 40 л, заполнен гелием (М= 4,00г/моль) под давлением р = 104 кПа при температуре t = 27 °С. Шарик прикреплен к поверхности Земли легкой вертикальной нитью, модуль силы натяжения которой F = 149 мН. Если плотность атмосферного воздуха ρ = 1,29 кг/м³, то масса m тонкой оболочки шарика равна… г.

Решение.
Рассмотрим действующие силы: сила натяжения нити F, сила тяжести mg, действующая на оболочку шара, сила тяжести m₁g, действующая на газ, заключенный в оболочке и выталкивающая (архимедова) сила F_A. Так как шарик неподвижен, то сумма всех сил действующих на него, равна нулю
\[ {{\vec{F}}_{A}}+m\cdot \vec{g}+{{m}_{1}}\cdot \vec{g}+\vec{F}=0;\,\,\,\,\,m\cdot g={{F}_{A}}-{{m}_{1}}\cdot g-F \]
Массу m₁ газа определим из уравнения Менделеева-Клайперона. Тогда
\[ \begin{align}
  & m\cdot g=\rho \cdot g\cdot V-\frac{M\cdot p\cdot V}{R\cdot T}\cdot g-F \\
 & m=\rho \cdot V-\frac{M\cdot p\cdot V}{R\cdot T}-\frac{F}{g} \\
\end{align}
 \]
Ответ 30 г

[alsak]

B7 вариант 1
Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого постоянно, переводят из состояния А в состояние В (см. рис.). Если давление р₀= 100 кПа, а объем V₀ = 100 л, то в ходе процесса газ получил количество теплоты Q, равное ... кДж.

Решение.
Так как p⁰ и V₀ заданы, то из графика видно что:
\[ \begin{align}
  & \frac{{{p}_{A}}}{{{p}_{0}}}=1\,\Rightarrow \,{{p}_{A}}=100\,кПа;\,\,\,\frac{{{V}_{A}}}{{{V}_{0}}}=3\,\,\Rightarrow \,{{V}_{A}}=300\,л \\
 & \frac{{{p}_{C}}}{{{p}_{0}}}=2\,\Rightarrow \,{{p}_{C}}=200\,кПа;\,\,\,\frac{{{V}_{C}}}{{{V}_{0}}}=4\,\,\Rightarrow \,{{V}_{C}}=400\,л \\
 & \frac{{{p}_{B}}}{{{p}_{0}}}=2\,\Rightarrow \,{{p}_{B}}=200\,кПа;\,\,\,\frac{{{V}_{B}}}{{{V}_{0}}}=7\,\,\Rightarrow \,{{V}_{B}}=700\,л \\
\end{align}
 \]
Количество теплоты Q полученное газом

Q = Q_AC + Q_CB

Согласно первому закону термодинамики

Q_AC = ΔU_AC + A_AC

\[ \begin{align}
  & \Delta {{U}_{AC}}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \Delta {{T}_{AC}}=\frac{3}{2}\cdot \left( {{p}_{C}}\cdot {{V}_{C}}-{{p}_{A}}\cdot {{V}_{A}} \right) \\
 & {{A}_{AC}}=\frac{1}{2}\cdot \left( {{p}_{A}}+{{p}_{C}} \right)\cdot \left( {{V}_{C}}-{{V}_{A}} \right) \\
\end{align}
 \]
Здесь мы воспользовались уравнение Менделеева-Клайперона и работу ААС нашли как площадь трапеции под соответствующим графиком
Q_AC = 90 кДж
Аналогично

Q_CВ = ΔU_CВ + A_CВ

\[ QCВ = ΔUCВ + ACВ
\begin{align}
  & \Delta {{U}_{CB}}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \Delta {{T}_{CB}}=\frac{3}{2}\cdot \left( {{p}_{B}}\cdot {{V}_{B}}-{{p}_{C}}\cdot {{V}_{C}} \right) \\
 & {{A}_{CB}}=\frac{1}{2}\cdot {{p}_{C}}\left( {{V}_{B}}-{{V}_{C}} \right) \\
\end{align}
 \]
Q_CВ = 150 кДж
Q = Q_AC + Q_CB = 240 кДж

[alsak]

B8 вариант 2
Четыре точечных заряда q₁ = q₂ = q и q₃ = q₄ = - q расположены в вакууме в вершинах квадрата, длина стороны которого а = 11 см (см. рис.). Если на заряд q₀ = 3,8 нКл, находящийся в центре квадрата, действует сила, модуль которой F= 160 мкН, то заряд q₂ равен... нКл.

Решение.
 Одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются. Сила взаимодействия определяется законом Кулона. Поскольку заряды по модулю равны и расстояние до центрального заряда одинаково для всех зарядов (половина диагонали квадрата), то все силы равны по модулю
\[ {{F}_{k}}=\frac{k\cdot {{q}_{0}}\cdot q}{{{r}^{2}}}=\frac{2\cdot k\cdot {{q}_{0}}\cdot q}{{{a}^{2}}}\,\,\,\,\,(1) \]
Сила, действующая на заряд q₀, равна геометрической сумме всех сил
\[ F=\sqrt{{{\left( 2\cdot {{F}_{k}} \right)}^{2}}+{{\left( 2\cdot {{F}_{k}} \right)}^{2}}}=2\cdot \sqrt{2}\cdot {{F}_{k}} \]
Тогда с учетом (1)
\[ q=\frac{{{a}^{2}}\cdot F}{4\cdot k\cdot {{q}_{0}}\cdot \sqrt{2}} \]
Ответ 10 нКл

[alsak]

B9 вариант 2
В воздухе на расстоянии h = 30 мм от середины шероховатой спицы и на расстоянии R = 50 мм от ее концов закреплен точечный заряд q = 4,0 мкКл (см. рис.). На левый конец спицы надевают бусинку с одноименным зарядом и толкают ее вдоль спицы. Начальная кинетическая энергия бусинки E₀ = 69 мДж, а ее кинетическая энергия при достижении правого конца спицы Е₂ = 37 мДж. Если кинетическая энергия бусинки на середине спицы Е₁ = 41 мДж, то заряд q₀ бусинки равен ... нКл.

Решение.
 Спица является шероховатой, следовательно, при движении бусинки присутствует сила трения. Изменение энергии бусинки будет равно работе внешних сил, т.е работе силы трения. Энергия бусинки равна сумме кинетической энергии движения и потенциальной энергии электростатического взаимодействия. Тогда для участков от крайнего левого до среднего положения и от среднего до крайнего правого
\[ \begin{align}
  & \left( {{E}_{1}}+\frac{k\cdot {{q}_{0}}\cdot q}{h} \right)-\left( {{E}_{0}}+\frac{k\cdot {{q}_{0}}\cdot q}{R} \right)=-A \\
 & \left( {{E}_{2}}+\frac{k\cdot {{q}_{0}}\cdot q}{R} \right)-\left( {{E}_{1}}+\frac{k\cdot {{q}_{0}}\cdot q}{h} \right)=-A \\
\end{align}
 \]
Приравняем и найдем заряд q₀ бусинки
\[ {{q}_{0}}=\frac{{{E}_{2}}+{{E}_{0}}-2\cdot {{E}_{1}}}{2\cdot k\cdot q\cdot \left( \frac{1}{h}-\frac{1}{R} \right)} \]
Ответ 25 нКл