Динамика из сборника Савченко Н.Е.

[Kivir]

126. Какая требуется сила, чтобы стальной стержень, длина которого l = 1,0 м и площадь поперечного сечения S = 1,0 см², удлинить на Δl = 1,0 мм? При какой наименьшей силе стержень разорвётся, если предел прочности стали σ_np = 7,85∙10⁸ Па? Модуль Юнга стали E = 21,6∙10¹⁰ Па.
Решение: будем считать, что деформация стержня упругая. Для нахождения силы, необходимой для удлинения стержня, воспользуемся законом Гука:
\[ F=\frac{E\cdot S}{l} \cdot \left|\Delta l\right|. \]
Здесь: E – модуль упругости (модуль Юнга), S – площадь поперечного сечения, l – начальная длина, Δl – абсолютное удлинение.
Пределом прочности называют механическое напряжение, выше которого происходит разрушение материала. Механическое напряжение определяется как отношение силы вызывающей деформацию к площади сечения тела:
\[ {\sigma _{np} =\frac{F_{\min}}{S},}\;\;{F_{\min} =\sigma _{np} \cdot S.} \]
Ответ: 2,16∙10⁴ Н, 7,85∙10⁴ Н.

[Kivir]

139. Металлический шарик массой m = 20 г, свободно падающий без начальной скорости с высоты h = 1,3 м, ударяется упруго о горизонтально расположенную стальную плиту и отскакивает от неё в противоположном направлении с такой же по модулю скоростью. Найти среднюю силу, с которой шарик действовал на плиту, если продолжительность удара t = 0,10 с. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение: при ударе шар и плита взаимодействуют друг с другом с силами, равными по модулю, но противоположными по направлению (третий закон Ньютона). Определив силу, действующую на шарик со стороны плиты, мы тем самым найдем силу, с которой шарик действовал на плиту.
Во время столкновения на шарик действуют две силы: сила тяжести mg и сила F со стороны плиты. Силу F определим из второго закона Ньютона, записанного в импульсном виде:
\[ \left(\vec{F}+m\vec{g}\right)\cdot t=m\cdot \vec{\upsilon}_{2} -m\cdot \vec{\upsilon}_{1}. \]
Здесь  υ₁ – модуль скорости шарика непосредственно до удара о плиту,  υ₂ – скорость после удара. По условию задачи: υ₁ = υ₂ = υ.
Выберем систему отсчёта:  ось y направим вертикально верх, и запишем второй закон Ньютона в проекции на выбранную систему:
\[ \begin{array}{l} {\left(F-mg\right)\cdot t=m\cdot \upsilon _{2} -\left(-m\cdot \upsilon _{1} \right),} \\ {\left(F-mg\right)\cdot t=m\cdot \upsilon +m\cdot \upsilon ,} \\ {F=mg+\frac{2m\cdot \upsilon }{t} .} \end{array} \]
Здесь учли, что сила тяжести и скорость υ₁ направлены вниз, поэтому их проекции отрицательны, сила F и скорость υ₂ направлены вверх, их проекции положительны. Модуль скорости шарика при свободном падении без начальной скорости с высоты h определяется по формуле:
\[ \upsilon =\sqrt{2\cdot g\cdot h}. \]
Имеем:
\[ \begin{array}{l} {F=mg+\frac{2m\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h}}{t},} \\ {F=m\cdot \left(g+\frac{2\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h}}{t} \right).} \end{array} \]
По третьему закону Ньютона, шарик действует на плиту с такой же по модулю силой (эта сила приложена к плите и направлена вниз).
Ответ: 2,2 Н.

[Kivir]

146. Найти зависимость модуля силы трения, действующей на тело массой  на наклонной плоскости, от угла α (рис 52). Коэффициент трения равен μ.
Решение: На тело, лежащее на наклонной плоскости (рис. 1.), действуют сила тяжести mg, сила трения  F_tr и сила нормальной реакции опоры N.
По второму закону Ньютона:
\[ m\vec{a}=\vec{F}_{tr} +m\vec{g}+\vec{N} \]
Возможно две ситуации:
Первая -  тело покоится. При этом  сила трения  - это сила трения покоя и ускорение тела a равно нулю. Имеем в проекции на ось x:
\[ \begin{array}{l} {0=-F_{tr} +mg\cdot \sin \alpha ,} \\ {F_{tr} =mg\cdot \sin \alpha.}\end{array} \]
Из полученной формулы следует, что, в случае покоя, модуль силы трения зависит от угла наклона доски по закону синуса. 
Вторая – тело движется. При этом  сила трения  - это сила трения скольжения, которая определяется по известной формуле. Запишем её и проекцию второго закона на ось y:
\[ \begin{array}{l} {F_{tr} =\mu N,} \\ {0=-mg\cdot \cos \alpha +N,} \\ {F_{tr} =\mu \cdot mg\cdot \cos \alpha.}\end{array} \]
Из полученной формулы следует, что, в случае движения, модуль силы трения зависит от угла наклона доски по закону косинуса.
Определим предельный угол α₀, при котором тело начинает скользить по наклонной плоскости. Пусть в момент начала скольжения ускорение тела практически равно нулю (a ≈ 0). Второй закон Ньютона в проекциях на систему координат:
\[ \begin{array}{l} {x:0=-F_{tr} +mg\cdot \sin \alpha _{0} ,} \\ {y:0=N-mg\cdot \cos \alpha _{0} ,} \\ {\mu N=mg\cdot \sin \alpha _{0} ,} \\ {N=mg\cdot \cos \alpha _{0} ,} \\ {\mu =tg\alpha _{0} ,} \\ {\alpha _{0} =arctg\mu.}\end{array} \]
Получили, что при углах α < α₀ тело находится в состоянии покоя и сила трения меняется по закону синуса. При углах α > α₀ тело скользит вдоль плоскости, и сила трения меняется по закону косинуса. Полученную зависимость силы трения от угла наклона доски см. рис 2.

[Kivir]

166. Велосипедист едет без проскальзывания по окружности радиуса R со скоростью υ. Найти угол между плоскостью велосипеда и вертикалью.
Решение: для того чтобы велосипедист мог двигаться по окружности, ему необходимо наклонится так, чтобы равнодействующая приложенных к нем сил сообщала ему центростремительное ускорение. На велосипедиста действует три силы (см.рис.): mg – сила тяжести (приложена к центру тяже-сти), N – сила нормальной реакции со стороны дороги, F_tr   – сила трения. Так как центр тяжести велосипедиста не перемещается по вертикали, то это означает равенство по модулю силы тяжести и реакции опоры: mg = N.
Центростремительное ускорение велосипедисту сообщается в конечном итоге только силой трения. По второму закону Ньютона:
\[ F_{tr} =m\cdot a_{c} =m\cdot \frac{\upsilon ^{2}}{R}. \]
Здесь υ – скорость велосипедиста, R – радиус поворота.
При этом равнодействующая сил трения и реакции опоры
\[ \vec{F}=\vec{F}_{tr} +\vec{N}, \]
Очевидно, должна проходить через центр тяжести велосипедиста (так как момент равнодействующей этих сил относительно центра тяжести должен быть равен нулю, в противном случае будет опрокидывание велосипедиста). Из геометрических соображений по определению тангенса угла (см. рис.):
\[ {tg\alpha =\frac{Ftr}{N} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{R\cdot mg} =\frac{\upsilon ^{2} }{R\cdot g},} \;\; {\alpha =arctg\left(\frac{\upsilon ^{2}}{R\cdot g} \right).} \]