Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.

[Kivir]

403. Найти концентрацию газа при нормальных условиях. Постоянная Больцмана k = 1,38∙10^-23 Дж/К.
Решение: воспользуемся зависимостью давления от температуры и концентрации газа:

p₀ = n∙k∙T₀,

Здесь p₀ = 105 Па, Т₀ = 273 К – нормальные условия. Искомая концентрация:
\[ n=\frac{p_{0} }{k\cdot T_{0}}. \]
Ответ: 2,65∙10²⁵ м^-3.

[Kivir]

407. Баллон вместимостью V = 50 л содержит m = 2,2 кг углекислого газа. Баллон выдерживает давление не выше p = 4,0 Мпа. При какой температуре баллон может разорваться? Молярная масса углекислого газа M = 44∙10^-3 кг/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(Моль∙К).
Решение: запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона - Менделеева):
\[ \begin{array}{l} {p\cdot V=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T,} \\ {T=\frac{p\cdot V\cdot M}{m\cdot R}.}\end{array} \]
Ответ: 481 К = 4,8∙10² К

[Kivir]

432. Проволочная рамка с подвижной перекладиной длиной l₁ = 8,0 см затянута мыльной плёнкой. Какую работу против сил поверхностного натяжения надо совершить, чтобы растянуть плёнку на l₂ = 2,0 см? Поверхностное натяжение плёнки σ = 4,0∙10^-2 Н/м.
Решение: способ 1 (энергетический). При растяжении плёнки, увеличивается площадь свободной поверхности, т.е увеличивается поверхностная энергия. Т.к. энергия системы изменяется (система не замкнута), то совершается работа внешними силами (против сил поверхностного натяжения).
\[ A=\sigma \cdot \Delta S. \]
Изменение площади поверхности плёнки легко определить из следующих соображений: нам известны размеры поверхности l₁ и l₂, а также, что у плёнки свободных поверхностей две. Тогда:
\[ \begin{array}{l} {\Delta S=2\cdot l_{1} \cdot l_{2\,},} \\ {A=2\cdot \sigma \cdot l_{1} \cdot l_{2\,}.} \end{array} \]
Способ 2 (динамический) на подвижную перекладину действует две силы поверхностного натяжения (у плёнки получается две границы поверхности с перекладиной). Для медленного движения перекладины, приложим внешнюю силу, равную по модулю двум силам поверхностного натяжения.
\[ F=2\cdot F_{n} =2\cdot \sigma \cdot l_{1}.  \]
Работа постоянной силы:
\[ \begin{array}{l} {A=F\cdot S\cdot \cos \alpha } \\ {A=2\cdot \sigma \cdot l_{1} \cdot l_{2}.} \end{array} \]
Здесь учли, что перемещение перекладины S = l₂, угол между вектором силы и перемещения α = 0 (cosα=1).
Ответ: 1,3∙10^-4 Дж

[Kivir]

433. Из сосуда через вертикальную трубку, внутренний диаметр которой d = 3,0 мм, за некоторое время вытекло по каплям молоко массой m = 50 г. Определить количество упавших капель. Поверхностное натяжение молока σ = 47 мН/м. Считать диаметр шейки капли в момент отрыва равным внутреннему диаметру трубки.
Решение: в момент отрыва на каплю действуют две силы: m₁g – сила тяжести, направленная вниз (m₁ – масса одной капли) и сила поверхностного натяжения F_n – направленная вверх (удерживает каплю). Будем считать, что при отрыве сила тяжести незначительно превышает по модулю силу поверхностного натяжения.
\[ m_{1} g=F_{n} =\sigma \cdot l=\sigma \cdot \pi \cdot d. \]
Здесь учли, что длина границы поверхностного слоя капли равна длине окружности трубки (по внутреннему диаметру).
Определив массу одной капли и зная массу всех капель (считая все капли одинаковыми) и найдём число капель.
\[ \begin{array}{l} {m_{1} =\frac{\sigma \cdot \pi \cdot d}{g} ,} \\ {N=\frac{m}{m_{1} } =\frac{m\cdot g}{\sigma \cdot \pi \cdot d} .} \end{array} \]
Ответ: 1,1∙10³ 

[Kivir]

434. Из плохо закрытого крана капает вода. Определить массу вытекшей за t = 24 ч воды, если время между отрывами ближайших капель τ = 1,0 с. Диаметр шейки капли в момент её отрыва считать равным диаметру трубы крана d = 10 мм. Поверхностное натяжение воды σ = 72,7 мН/м.
Решение: в момент отрыва на каплю действуют две силы: m₁g – сила тяжести, направленная вниз (m₁ – масса одной капли) и сила поверхностного натяжения F_n – направленная вверх (удерживает каплю). Будем считать, что при отрыве сила тяжести незначительно превышает по модулю силу поверхностного натяжения.
\[ \begin{array}{l} {m_{1} g=F_{n} =\sigma \cdot l=\sigma \cdot \pi \cdot d,} \\ {m_{1} =\frac{\sigma \cdot \pi \cdot d}{g}.} \end{array} \]
Здесь учли, что длина границы поверхностного слоя капли равна длине окружности трубы крана. Число капель определим, зная время вытекания воды t и промежуток времени между отрывами капель τ:
\[ N=\frac{t}{\tau }. \]
Зная массу одной капли, и число капель  найдём массу вытекшей воды.
\[ m=m_{1} \cdot N=\frac{\sigma \cdot \pi \cdot d\cdot t}{g\cdot \tau }. \]
Ответ: 20 кг.

[Kivir]

435. Разность Δh уровней ртути в двух сообщающихся вертикальных капиллярах, диаметры которых d₁ = 0,5 мм и d₂ = 1 мм, равна 1,5 см. Определить поверхностное натяжение ртути. Плотность ртути ρ = 13,6∙10³ кг/м³.
Решение: высоту поднятия жидкости в капилляре можно определить по формуле (считаем смачивание ртутью стенок капилляра полным):
\[ h=\frac{4\cdot \sigma }{\rho \cdot g\cdot d}. \]
Здесь σ – коэффициент поверхностного натяжения, ρ – плотность жидкости, d – диаметр капилляра, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Разность уровней в двух капиллярах (первый капилляр тоньше, поэтому высота поднятия жидкости в нём больше):
\[ \Delta h=h_{1} -h_{2} =\frac{4\cdot \sigma }{\rho \cdot g\cdot d_{1} } -\frac{4\cdot \sigma }{\rho \cdot g\cdot d_{2} } =\frac{4\cdot \sigma }{\rho \cdot g} \cdot \left(\frac{1}{d_{1} } -\frac{1}{d_{2}} \right). \]
Выразим поверхностное натяжение ртути:
\[ \sigma =\frac{\Delta h\cdot \rho \cdot g\cdot d_{2} \cdot d_{1} }{4\cdot \left(d_{2} -d_{1} \right)}. \]
Ответ: 5∙10^-1 Н/м.

[Kivir]

436. В воду на ничтожно малую глубину опущена вертикально капиллярная трубка, внутренний диаметр которой d = 1,0 мм. Определить массу вошедшей в трубку воды. Смачивание считать полным. Поверхностное натяжение воды σ = 72,7 мН/м.
Решение: способ 1. Жидкость будет подниматься в капилляре до тех пор, пока сила тяжести, действующая на столбик жидкости вошедший в капилляр не станет равной по модулю силе поверхностного натяжения (она поднимает жидкость) действующей на границу свободной поверхности жидкости (длина границы равна длине окружности). Т.е.:
\[ \begin{array}{l} {mg=F_{n} =\sigma \cdot l=\sigma \cdot \pi \cdot d,} \\ {m=\frac{\sigma \cdot \pi \cdot d}{g}.} \end{array} \]
Способ 2. Высота поднятия жидкости в капилляре:
\[ h=\frac{4\cdot \sigma }{\rho \cdot g\cdot d}. \]
Тогда массу жидкости найдём, зная её плотность и занимаемый объём (цилиндр, высотой h и основание – круг, диаметром d):
\[ m=\rho \cdot V=\rho \cdot S\cdot h=\rho \cdot \frac{\pi \cdot d^{2} }{4} \cdot \frac{4\cdot \sigma }{\rho \cdot g\cdot d} =\frac{\sigma \cdot \pi \cdot d}{g}. \]
Ответ: 2,3∙10^-5 кг.