Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.

[Kivir]

719. Плоский виток изолированного провода перегибают, придавая ему вид «восьмёрки», а затем помещают в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Длина витка l = 120 см. Петли «восьмёрки» можно считать окружностями с отношением радиусов 1:2. Какой силы ток пройдёт по проводу, если поле будет убывать с постоянной скоростью ΔB/Δt = 1 ∙ 10^–2 Тл/с? Сопротивление витка R = 1 Ом.
Решение: при изменении индукции магнитного поля в замкнутом контуре возникает ЭДС индукции. После того, как виток перегнули в виде «восьмёрки», получилось два контура. Провод изолирован, поэтому в месте накладки  провода контакт отсутствует. Пусть индукция магнитного поля направлена «от нас» в плоскость рисунка (см. рис.). Тогда по правилу Ленца: ЭДС индукции создаст в каждом контуре такой индукционный ток, что магнитный поток этого тока будет противодействовать изменению магнитного потока, вызывающего этот ток. А так как магнитное поле убывает, то индукция магнитного поля индукционного тока имеет тоже направление, что и внешнее поле. Используя правило правого винта, можно изобразить эквивалентную схему (см. рис.) – здесь E₁ и E₂ – источники тока с ЭДС равными ЭДС индукции в каждом из контуров соответственно (внутреннее сопротивление источников равно нулю). После «разгибания восьмёрки» получаем электрическую схему (см. рис.) с последовательно соединёнными ЭДС («+» одного источника соединён с «+» второго), R - сопротивление провода. Пусть ток в цепи направлен против часовой стрелки, направление обхода контура выберем по направлению тока (см. рис.).
Запишем второе правило Кирхгофа
\[ E_{2} -E_{1} =I\cdot R. \]
ЭДС определим по закону электромагнитной индукции
\[ E_{1}=-\frac{\Delta \Phi _{1}}{\Delta t} =\frac{S_{1} \cdot \Delta B}{\Delta t} ,E_{2} =-\frac{\Delta \Phi _{2} }{\Delta t} =\frac{S_{2} \cdot \Delta B}{\Delta t}, \]
здесь S₁ и S₂ – площади петель «восьмёрки» соответственно. По условию: радиусы относятся как 1:2, сумма длин окружностей равна длине провода. Пусть радиус первой (меньшей) окружности r₁, большей – r₂. Тогда
\[ \begin{array}{l}{r_{2} =2\cdot r_{1},2\pi \cdot r_{1}+2\pi \cdot r_{2} =l,} \\ {r_{1} =\frac{l}{6\pi } ;r_{2} =\frac{l}{3\pi },} \\ {S_{1} =2\pi \cdot r_{1}^{2} =\frac{l^{2}}{36\pi },} \\ {S_{2} =2\pi \cdot r_{2}^{2} =\frac{l^{2}}{9\pi }.} \end{array} \]
Подставим полученные выражения для площади в ЭДС, ЭДС в правило Кирхгофа и выразим искомую силу тока
\[ \begin{array}{l}{E_{1}=\frac{l^{2}}{36\pi} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} ,E_{2}=\frac{l^{2}}{9\pi}\cdot\frac{\Delta B}{\Delta t},}\\{I=\frac{E_{2} -E_{1}}{R}=\frac{l^{2}}{R}\cdot\frac{\Delta B}{\Delta t}\cdot \left(\frac{1}{9\pi }-\frac{1}{36\pi } \right),} \\ {I=\frac{l^{2}}{12\pi \cdot R} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}.} \end{array} \]
Ответ: 3,82 ∙ 10^–4 ≈ 4 ∙ 10^–4 A.

[Kivir]

720. Проводящий стержень ОА длиной l = 10 см вращается с угловой скоростью ω = 300 рад/с вокруг оси, проходящей через один из его концов, в плоскости, перпендикулярной магнитной индукции B, модуль которой B = 1 Тл. Свободный конец стержня скользит по проводнику в виде дуги окружности, радиус которой равен длине стержня. Между точкой C проводника и точкой закрепления стержня на оси вращения включена батарея, как показано на рис. 239. На этом же рисунке указаны направления вектора магнитной индукции B и вращения стержня. Сопротивление стержня, проводника и контакта между ними пренебрежимо малы по сравнению с внутренним сопротивлением батареи. Найти напряжение на зажимах батареи.
Решение: при вращении стержня в нём возникает ЭДС индукции, модуль которой (закон электромагнитной индукции):
\[ E_{i}=\frac{\Delta \Phi }{\Delta t} =\frac{B\cdot \Delta S}{\Delta t}, \]
где ΔS – площадь, которую «прочерчивает» стержень за время Δt. Пусть стержень  сделает один оборот. В этом случае ΔS равно площади круга, радиусом l, а время равно периоду вращения T, т.е.

ΔS = π∙l² и Δt = T.

Подставим в закон электромагнитной индукции и учтём, что угловая ско-рость вращения ω = 2π/T
\[ E_{i} =\frac{B\cdot \pi \cdot l^{2} }{T} =\frac{2\pi }{T} \cdot \frac{B\cdot l^{2}}{2} =\frac{\omega \cdot B\cdot l^{2}}{2}. \]
При движении стержня, на свободные заряды внутри него действует сила со стороны магнитного поля (сила Лоренца), направление которой определяется правилом левой руки. Под действием этой силы положительные заряды будут «накапливаться» на конце стержня, который скользит по проводнику (точка А). Изобразим эквивалентную схему (см. рис.)
Запишем второе правило Кирхгофа (направление обхода по току, сопротивление R мало по условию и им пренебрегаем), найдём силу тока в цепи I
\[ \begin{array}{l} {E_{i} -E=I\cdot r,} \\ {I=\frac{E_{i} -E}{r} .} \end{array} \]
Напряжение на участке цепи, если этот участок содержит источник тока с ЭДС E и внутренним сопротивлением r равно (направление обхода по току)
\[ U=-E-I\cdot r. \]
С учётом полученного выражения для силы тока в цепи, имеем
\[ U=-E-\left(\frac{E_{i}-E}{r}\right)\cdot r=-E-\left(E_{i}-E\right)=-E_{i} . \]
Знак «минус» можно опустить, получаем ответ
\[ U=E_{i} =\frac{\omega \cdot B\cdot l^{2}}{2}. \]
Ответ: 1,5 В.