Теория относительности из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

915

916

917

918

919

920

[alsak]

915. Линейка длиной l₀ = 1 м движется вдоль оси ОX в инерциальной системе отсчёта K (см. рис. 284) со скоростью υ = 0,8с, где с – скорость света в вакууме. Какова длина этой линейки в системе К?
Решение: т.к. линейка движется со скоростью, близкой к скорости света, то для наблюдателя, находящегося в системе отсчёта K, линейка будет короче (релятивистское сокращение длины). Пусть l – длина движущейся линейки, l₀ – собственная длина (длина неподвижной линейки), тогда
\[ l=l_{0} \cdot \sqrt{1-\frac{\upsilon ^{2} }{c^{2}}}. \]
После подстановки данных, имеем
\[ l=l_{0} \cdot \sqrt{1-\frac{0,8^{2} \cdot c^{2} }{c^{2} } } =l_{0} \cdot \sqrt{1-0,64} =0,6\cdot l_{0}. \]
Ответ: 0,6 м.

[alsak]

916. Космический корабль движется мимо неподвижного наблюдателя со скоростью υ = 0,6с, где с – скорость света в вакууме. Сколько времени пройдёт по часам наблюдателя, если по часам, находящимся в корабле, прошло τ₀ = 100 ч?
Решение: промежуток времени τ₀ между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами, связан с промежутком времени τ между этими же событиями, измеренный покоящимися часами, соотношением (релятивистское замедление времени)
\[ \tau =\frac{\tau _{0} }{\sqrt{1-\frac{\upsilon ^{2} }{c^{2}}}}. \]
После подстановки данных, имеем
\[ \tau =\frac{\tau _{0} }{\sqrt{1-\frac{0,6^{2} \cdot c^{2} }{c^{2} } } } =\frac{\tau _{0} }{\sqrt{1-0,36} } =\frac{\tau _{0} }{0,8}. \]
Ответ: 125 ч.

[alsak]

917. Найти полную энергию и кинетическую энергию релятивистской (движущёйся со скоростью, близкой к скорости света) частицы, модуль импульса которой   p = 5,68 ∙ 10^–19 кг ∙ м / с, а масса m = 1,67 ∙ 10^–27 кг. Скорость света в вакууме c = 3 ∙10⁸ м / с.
Решение: для нахождения полной энергии релятивистской частицы, если известен её релятивистский импульс, удобнее всего воспользоваться релятивистской связью между энергией и импульсом
\[ \begin{array}{l} {p^{2} +m_{0}^{2} \cdot c^{2} =\frac{E^{2} }{c^{2} } ,} \\ {E=\sqrt{p^{2} \cdot c^{2} +m_{0}^{2} \cdot c^{4} } =c\cdot \sqrt{p^{2} +m_{0}^{2} \cdot c^{2}}.} \end{array} \]
Здесь m₀ – масса покоя частицы (дана в условии).
Кинетическую энергию релятивистской частицы можно определить только единственным способом: она равна разности полной энергии E и энергии покоя E₀ = m₀c². Таким образом
\[ \begin{array}{l} {E_{k} =E-E_{0} ,} \\ {E_{k} =c\sqrt{p^{2} +m_{0}^{2} \cdot c^{2} } -m_{0} \cdot c^{2} =c\cdot \sqrt{p^{2} +m_{0}^{2} \cdot c^{2} } .} \end{array} \]
Ответ: 2 ∙ 10^–10 Дж, 5 ∙10^–11 Дж.

[alsak]

918. Вычислить энергию покоя тела массой m = 1 кг. Скорость света в вакууме c = 3 ∙10⁸ м / с.
Решение: энергия покоя E₀ = m₀c², где m₀ – масса покоя тела (дана в условии).
Ответ: 9 ∙ 10¹⁶ Дж.

[alsak]

919. Космический корабль удаляется от Земли со скоростью υ₁ = 0,80с, а затем с него стартует ракета в направлении от Земли со скоростью υ₂ = 0,80c относительно корабля (c – скорость света в вакууме). Определить скорость ракеты относительно Земли.
Решение: Направим координатную ось ОХ от Земли (по направлению движения корабля и ракеты) – неподвижная система координат.  Координатную ось О´Х´  свяжем с кораблём и направим её по скорости корабля. Запишем релятивистский закон сложения скоростей
\[ u_{x} =\frac{u'_{x} +\upsilon }{1+\frac{u'_{x} \cdot \upsilon }{c^{2}}}, \]
где u_x =  u – проекция скорости u тела в неподвижной системе координат (относительно Земли) – искомая скорость ракеты, u´_x = υ₂ – проекция скорости ракеты в подвижной системе координат (относительно корабля), υ = υ₁ – модуль скорости подвижной системы относительно неподвижной. Тогда
\[ u=\frac{\upsilon _{2} +\upsilon _{1} }{1+\frac{\upsilon _{2} \cdot \upsilon _{1} }{c^{2}}}. \]
Ответ: 0,98c (c = 3 ∙10⁸ м / с).

[alsak]

920. Две релятивистские частицы движутся навстречу друг другу вдоль одной прямой, параллельной оси ОХ, в системе K (см. рис. 284) со скоростями  υ₁ = 0,70с и υ₂ = 0,80c , где c – скорость света в вакууме. Определить относительную скорость этих частиц в системе K´, движущейся с первой частицей. 
Решение: запишем релятивистский закон сложения скоростей
\[ u_{x} =\frac{u'_{x} +\upsilon }{1+\frac{u'_{x} \cdot \upsilon }{c^{2}}}, \]
где u_x = –υ₂ – проекция скорости υ₂ второй частицы в неподвижной системе координат K, u´_x = υ´₂ – проекция скорости второй частицы в подвижной системе координат (относительно первой частицы – искомая скорость), υ = υ₁ – модуль скорости подвижной системы К´ относительно неподвижной К. Тогда
\[ \begin{array}{l} {-\upsilon _{2} =\frac{\upsilon '_{2} +\upsilon _{1} }{1+\frac{\upsilon _{2} \cdot \upsilon _{1} }{c^{2} } } ,} \\ {-\upsilon _{2} \cdot \left(1+\frac{\upsilon '_{2} \cdot \upsilon _{1} }{c^{2} } \right)=\upsilon '_{2} +\upsilon _{1} ,} \\ {\upsilon '_{2} \cdot \left(1+\frac{\upsilon _{2} \cdot \upsilon _{1} }{c^{2} } \right)=-\upsilon _{2} -\upsilon _{1} ,} \\ {\upsilon '_{2} =\frac{\left|-\upsilon _{2} -\upsilon _{1} \right|}{1+\frac{\upsilon _{2} \cdot \upsilon _{1} }{c^{2}}}.} \end{array} \]
Ответ: 0,96c (c = 3 ∙10⁸ м / с).