Вступительный экзамен июнь 2010 года

[alsak]

Здесь будут разобраны задачи вступительного экзамена по физике в 10 классы во все лицеи Могилевской области (республика Беларусь), который проходил 15 июня 2010 года.

[alsak]

Часть А. 1. (1,5 балла). Сколько льда, взятого при температуре 0 °С, можно расплавить, сообщив ему энергию 0,66 МДж? Удельная теплота плавления льда 330 кДж/кг.

А. 0,5 кг; Б. 1,5 кг; В. 2 кг; Г. 20 кг.

Решение. Дополнительные сведения: температура плавления льда равно 0 °С.
Так как лед взят при температуре плавления, то вся подводимая энергия пойдет только на плавление льда (если бы температура была меньше 0 °С, то часть энергии пришлось бы затратить на нагревание льда), т.е. Q = m⋅λ. Тогда
 
\[
m = \frac{Q}{ \lambda }, \quad
m = \frac{0,66 \cdot 10^6}{330 \cdot 10^3} = 2. \]

Ответ. В. 2 кг.

Часть А. 2. (2,5 балла). Цилиндрическую проволоку длиной 1 м растянули так, что ее длина стала 110 см. На сколько процентов изменилось при этом ее сопротивление?

А. 10 %; Б. 11 %; В. 21 %; Г. 12,1 %.

Решение. При растяжении проволоки изменяется и ее длина, и площадь поперечного сечения. Но такая деформация не изменяет объем проволоки, т.е.

V₁ = V₂ или S₁⋅l₁ = S₂⋅l₂. (1)

Сопротивление проволоки зависит от ее геометрических размеров следующим образом:

R = ρ⋅l/S или R₁ = ρ⋅l₁/S₁, R₂ = ρ⋅l₂/S₂. (2)

Изменение сопротивления проволоки в процентах равно
 
\[
\varepsilon = \frac{ \Delta R}{R_1} \cdot 100% =
\frac{R_2 - R_1}{R_1} \cdot 100% =
\left( \frac{R_2}{R_1} - 1 \right) \cdot 100%, \]

Подставим в полученное выражение уравнения (2), из уравнения (1) выразим площадь поперечного сечения проволоки S₂.
 
\[
S_2 = \frac{S_1 \cdot l_1}{l_2}, \quad
\varepsilon = \left( \frac{l_1}{S_1} \cdot \frac{S_2}{l_2} -
1 \right) \cdot 100% = \left( \frac{l_1}{S_1} \cdot
\frac{S_1 \cdot l_1}{l_2 \cdot l_2} - 1 \right) \cdot 100% =
\left( \frac{l_1^2}{l_2^2} - 1 \right) \cdot 100%, \]

ε = 21 %.
Ответ. В. 21 %.

[alsak]

Часть А. 3. (5 баллов). На стол поставили в вертикальном положении тонкую палочку длиной 80 см и отпустили. На сколько сантиметров сместится нижний конец палочки к тому моменту, когда она будет составлять с поверхностью стола угол 60°? Трением пренебречь.

А. 20 см; Б. 40√3 см; В. 40 см; Г. 20√3 см.

Решение. На палочку действуют только вертикальные силы (сила тяжести и сила реакции опоры), поэтому центр масс системы не будет сдвигаться по горизонтальной оси (см. рис.), т.е. AO = l/2. Из рисунка видно, что

AB = AO⋅cos α = l/2⋅cos α, AB = 20 см.

Ответ. А. 20 см.

[alsak]

Часть А. 4. (7 баллов). Электрическую установку используют для получения пара. Воду объемом 600 см³, взятую при 20 °С превратили в пар за 1318 секунд. Под каким напряжением находится электроустановка, если ее нагреватель имеет сопротивление 30 Ом? Тепловые потери составляют 60 %. Удельная теплота парообразования воды 2,3 МДж/кг. Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг⋅°С).

А. 300 В; Б. 127 В; В. 220 В; Г. 380 В.

Решение. Дополнительные сведения: плотность воды 1 г/см³, температура кипения воды 100 °С.
Так как тепловые потери составляют 60 %, то КПД установки будет равен η = 100 % – 60 % = 40 % = 0,40 и η = Q_пол/Q_затр.
Энергия, пошедшая на нагревание и парообразование воды, равна

Q_пол = c⋅m⋅Δt + m⋅L,

где m = ρ⋅V, m = 1 г/см³ ⋅ 600 см³ = 600 г = 0,600 кг, Δt = 100 °С – 20 °С = 80 °С.
Энергия, затраченная электроустановкой, равна

Q_затр = U²⋅τ/R.

Тогда
 
\[
\eta = \frac{c \cdot m \cdot \Delta t + m \cdot L}
{U^2 \cdot \tau} \cdot R, \quad
U = \sqrt{ \frac{c \cdot \Delta t + L}{ \eta \cdot \tau}
\cdot m \cdot R}, \]

Ответ. А. 300 В.

[alsak]

Часть А. 5. (9 баллов). Тонкую мягкую цепочку массой 200 г удерживают за один конец так, что другой ее конец касается стола. Цепочку отпускают, и она падает на стол. Считая, что все элементы цепочки, находящиеся в воздухе, падают свободно, найдите силу давления на стол в тот момент, когда в воздухе находится l/4 часть цепочки.

А. 0,5 Н; Б. 4,5 Н; В. 2 Н; Г. 1,5 Н.

Решение. Сила давления цепочки на стол F_давл = m₁⋅g + F₁, где m₁⋅g — сила тяжести части цепочки, лежащей на столе, F₁ — сила давления части цепочки, которая находится в воздухе.
В воздухе находится l/4 цепочки (массой m₂ = m/4), поэтому на столе лежит 3l/4 цепочки (массой m₁ = 3m/4), и сила тяжести m₁⋅g = 3m/4⋅g, m₁⋅g = 1,5 Н.
Так как все элементы цепочки, находящиеся в воздухе, падают свободно, то в одно и тоже время t₁ все части цепочки двигаются с одной и той же скоростью υ₁. Найдем эту скорость из уравнения
 
\[
\Delta r = l - \frac{l}{4} = \frac{3l}{4} =\frac{\upsilon _1^2 -
\upsilon_0^2}{2g} = \frac{\upsilon_1^2}{2g}, \quad
\upsilon_1^2 = \frac{3l}{2} \cdot g. \]

Сила давления движущейся цепочки F₁ численно равна силе F, с которой стол действует на цепочку и вызывает изменение ее импульса. Запишем изменение импульса движущейся цепочки за некоторых малый промежуток времени Δt (скорость цепочки за это время не успевает измениться, изменяется только масса цепочки в воздухе):

F⋅Δt = Δp = Δm⋅υ₁, где

 
\[
\Delta m = \frac{m}{l} \cdot \Delta l =
\frac{m}{l} \cdot \upsilon_1 \cdot \Delta t. \]

Тогда
 
\[
F \cdot \Delta t = \frac{m}{l} \cdot \upsilon_1 \cdot \Delta t \cdot \upsilon_1,
 \quad F_1 = F = \frac{m}{l} \cdot \upsilon_1^2 =
\frac{m}{l} \cdot \frac{3l}{2} \cdot g = \frac{3m \cdot g}{2}, \]

F₁ = 3 Н.
В итоге F_давл = 1,5 Н + 3 Н = 4,5 Н.
Ответ. Б. 4,5 Н.

[alsak]

Часть В. 1. (1,5 балла). Цилиндрический сосуд с жидкостью площадью сечения 200 см² плотно прикрыт поршнем массой 1 кг. Определите дополнительное давление, которое оказывает поршень на жидкость. g = 10 м/с².

Решение. Дополнительное давление, которое оказывает поршень, равно
 
\[
\Delta p = \frac{m \cdot g}{S}, \quad
\Delta p = \frac{1 \cdot 10}{200 \cdot 10^{-4}} = 500. \]

Ответ. 500 Па.

Часть В. 2. (2,5 балла). В электрическую цепь собираются включить последовательно электроплитку и резистор, сопротивления которых равны 50 Ом и 60 Ом соответственно. Напряжение на плитке должно быть 75 В. Можно ли включить указанный резистор, если напряжение на нем не должно превышать 100 В?

Решение. Найдем, какое напряжение будет на резисторе 60 Ом, если его включить последовательно с электроплиткой, и напряжение на которой будет 75 В.
Так как электроплитка и резистор включены последовательно, то силы тока в них будут равными. Тогда
 
\[
I_e = I_p, \quad \frac{U_e}{R_e} = \frac{U_p}{R_p}, \quad
U_p = R_p \cdot \frac{U_e}{R_e}, \quad
U_p = 50 \cdot \frac{75}{60} = 90. \]

Напряжение на резисторе (90 В) меньше максимально допустимого (100 В), поэтому включать этот резистор в цепь можно.
Ответ. Можно.

[alsak]

Часть В. 3. (5 баллов). Какое расстояние пройдет тело, свободно падая без начальной скорости в течение 3 с у поверхности планеты, радиус которой на одну треть меньше радиуса Земли, а средняя плотность вещества на 40 % меньше, чем средняя плотность Земли? g = 10 м/с². Объем шара V = 4/3π⋅R³.

Решение. При свободном падении с ускорением свободного падения a тело за время t₁ = 3 с пройдет расстояние

Δr = a⋅t₁²/2 (υ₀ = 0).

Найдем ускорение у данной планеты по следующей формуле

a = G⋅M_p/R_p²,

где R_p — радиус планеты, по условию R_p = R₃ – R₃/3 = 2R₃/3 (на одну треть меньше радиуса Земли R₃), M_p = 4/3π⋅R_p³⋅ρ_p, ρ_p — плотность планеты, по условию ρ_p = ρ₃ – 0,4ρ₃ = 0,6ρ₃ (на 40 % меньше, чем средняя плотность Земли ρ₃). Учтем так же, что ускорение свободного падения Земли равно
 
\[
g = G \cdot M_3 \cdot \frac{1}{R_3^2} =
G \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R_3^3 \cdot \rho _3 \cdot
\frac{1}{R_3^2} = G \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R_3 \cdot \rho_3. \]

Тогда
\[
a = G \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R_p \cdot \rho_p =
G \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{2}{3} R_3 \cdot 0,6 \rho_{3} =
0,4G \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R_3 \cdot \rho_3 = 0,4g. \]

В итоге получаем

Δr = 0,4g⋅t₁²/2, Δr = 18 (м).

Ответ. 18 м.

[alsak]

Часть В. 4. (7 баллов). Для работы паровой установки расходуется 210 кг угля за 1 ч. Охлаждение машины осуществляется водой, которая на входе имеет температуру 17 °С, а на выходе 27 °С. Определите расход воды (в кг) за 1 с, если на ее нагревание идет 24 % общего количества теплоты. Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг⋅°С), удельная теплота сгорания угля 30 МДж/кг.

Решение. КПД установки η = Q_пол/Q_затр, где η = 24 % = 0,24 (на нагревание воды идет 24 % общего количества теплоты), Q_пол = c⋅m_b⋅Δt°, Δt° = 27 °С – 17 °С = 10 °С, Q_затр = m_t⋅q, m_t = 210 кг. После подстановки в исходную формулу находим массу нагреваемой воды за время τ₁ = 1 ч = 3600 с
 
\[
\eta = \frac{c \cdot m_b \cdot \Delta t^\circ }{m_t \cdot q} ,\, \, \, \,
m_b = \frac{\eta \cdot m_t \cdot q}{c \cdot \Delta t^\circ }. \]

Расход воды за 1 с будет равен
 
\[
\frac{m_b}{\tau_1} = \frac{\eta \cdot m_t \cdot q}{c\cdot \Delta t^\circ \cdot \tau_1},\, \, \, \frac{m_b}{ \tau_1} = 10. \]

Ответ. 10 кг/с.

[alsak]

Часть В. 5. (9 баллов). Небольшое тело массой 0,99 кг лежит на вершине гладкой полусферы радиусом 1 м. В тело попадает пуля массой 0,01 кг, летящая горизонтально с некоторой скоростью, и застревает в нем. Пренебрегая смещением тела за время удара, определите указанную скорость, если тело с пулей оторвется от поверхности полусферы на высоте 80 см от горизонтальной поверхности, на которой лежит полусфера.

Решение. Рассмотрим первое явление — столкновение тела и пули. Тогда из проекции закона сохранения импульса на горизонтальную ось получаем

m_p⋅υ_p = (m + m_p)⋅υ₀, υ_p = (m + m_p)⋅υ₀/m_p (1)

Примечание. Масса пули m_p во много раз (в 99) меньше массы тела m, поэтому ее можно было бы пренебречь в сумме (m + m_p). Но числа подобраны так, что m + m_p = M = 1 кг.

Скорость тела вместе с пулей υ₀ найдем из второго явления — скольжения тела по гладкой полусфере.
На тело действуют сила тяжести (M⋅g) и сила реакции опоры (N). В момент отрыва на высоте h = 80 см тело перестает давить на поверхность полусферы, т.е. N = 0. Но в данный момент времени тело еще продолжает двигаться по окружности радиусом R = 1 м. Из второго закона Ньютона (рис.) получаем:

0Y: M⋅a_c = N_y + M⋅g⋅cos α, где a_c = υ²/R, cos α = h/R, N_y = 0.

Тогда

M⋅υ²/R = M⋅g⋅ h/R, υ² = _{g⋅ h}. (2)

Квадрат скорости найдем из закона сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту основания полусферы (см. рис. ). Полная механическая энергия тела в начальном состоянии
 

E₀ = M⋅g⋅h₀ + M⋅υ₀²/2,

где h₀ = R.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии (на высоте h)

E = M⋅g⋅h + M⋅υ²/2.

Из закона сохранения механической энергии следует, что

M⋅g⋅R + M⋅υ₀²/2 = M⋅g⋅h + M⋅υ²/2 или 2g⋅R + υ₀² = 2g⋅h + υ².

С учетом уравнения (2) получаем

2g⋅R + υ₀² = 2g⋅h + g⋅h = 3g⋅h или υ₀² = g⋅(3h – 2R).

Подставим полученное выражение в уравнение (1)
 
\[
\upsilon_p = \frac{M}{m_p} \cdot \sqrt{g \cdot \left(3h - 2R\right)},\, \, \,
\upsilon_p =200. \]

Ответ. 200 м/с.