Шар, соскальзывающий с поверхности полусферы

[Anna]

Шар соскальзывает без трения с певерхности полусферы R=30см. На какой h тело сорвется с поверхности полусферы?

[alsak]

На скользящее по поверхности полусферы тело действуют сила тяжести (m∙g) и сила реакции опоры (N) (рис. 1). Из второго закона Ньютона:

0Y: m⋅a_y = –N + m⋅g⋅cos α,

где a_y = a_ц = υ²/R, cos α = h/R (рис. 2). Если тело срывается с поверхности, то N = 0. Тогда

\[
m \cdot \frac{ \upsilon^2}{R} = m \cdot g \cdot \cos \alpha, \quad
\frac{ \upsilon^2 }{R} = g \cdot \cos \alpha = g \cdot \frac{h}{R}, \quad
\upsilon^2 = g \cdot h. \quad (1) \]

Квадрат скорости найдем из закона сохранения энергии. За нулевую высоту возьмем высоту основания полусферы, тогда энергия тела в начальный момент времени W₀ = m⋅g⋅R, на высоте h энергия равна W = m⋅g⋅h + m⋅υ²/2. Так как трения нет, то

\[
m \cdot g \cdot R = m \cdot g \cdot h + \frac{m \cdot \upsilon^2}{2}, \quad
\upsilon^2 = 2g \cdot (R - h). \]

Подставим полученное выражение в уравнение (1)
 

2g⋅(R – h) = g⋅h, 2R = 3h, h = 2R/3.