Пробирка погружается открытым концом в жидкость

[grumpy]

Цилиндрическая пробирка длины 4h, содержащая некоторое количество газа, погружается открытым концом до половины своей длины в жидкость с плотностью ρ. При этом оказывается, что поверхность жидкости внутри пробирки находится на расстоянии 3h от ее открытого конца. В каком положении будет находиться жидкость в пробирке при полном погружении последней? Температура во время опыта поддерживается постоянной, наружное давление равно p.

[alsak]

Рассмотрим первый случай, когда пробирка погружена до половины. Жидкость заполняет погруженную пробирку до тех пор, пока давление сверху p₁ в точке А (рис. 1) не станет равным давлению снизу p₂, т.е.

p₁ = p₂,

где p₁ = p_g1 + ρ⋅g⋅h₂, p₂ = p, p_g1 — давление газа внутри пробирки, p — наружное давление, h₃ = l/2 = 2h, h₂ = h₄ – h₃ = 3h – 2h = h. Тогда

p_g1 + ρ⋅g⋅h = p. (1)

Рассмотрим второй случай, когда пробирка погружена полностью. Жидкость заполняет погруженную пробирку до тех пор, пока давление сверху p₃ в точке В (рис. 2) не станет равным давлению снизу p₄, т.е.

p₃ = p₄,

где p₃ = p_g2, p₄ = p + ρ⋅g⋅h₅, p_g2 — давление газа внутри пробирки. Тогда

p_g2 = p + ρ⋅g⋅h₅. (2)

Так как температура во время опыта поддерживается постоянной, то процесс сжатия газа в пробирке будет изотермическим, поэтому

p_g1⋅V₁ = p_g2⋅V₂,

где V₁ = S⋅h₁, V₂ = S⋅h₅, S — площадь поперечного сечения пробирки, h₁ = l – h₄ = 4h – 3h = h. Тогда

p_g1⋅h = p_g2⋅h₅. (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,

p_g1 = p – ρ⋅g⋅h,   (p – ρ⋅g⋅h)⋅h = (p + ρ⋅g⋅h₅)⋅h₅,

\[ \rho \cdot g\cdot h_{5}^{2} +p\cdot h_{5} -\left(p-\rho \cdot g\cdot h\right)\cdot h=0. \]
Получили квадратное уравнение, корень которого равен
\[ h_{5} =\frac{-p+\sqrt{p^{2} +4\rho \cdot g\cdot \left(p-\rho \cdot g\cdot h\right)\cdot h} }{2\rho \cdot g} \]
(отрицательный ответ не подходит).
В условии не указано, относительно чего определять поверхность жидкости в пробирке, поэтому можно дать такие ответы:
1) поверхность жидкости в пробирке будет на расстоянии h₅ от закрытого конца;
2) поверхность жидкости в пробирке будет на расстоянии h₆ = 4h – h₅ от открытого конца.

[grumpy]

Спасибо за подробное решение!