С наклонной плоскости без трения соскальзывает тело

[анечкалапочка]

С наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, без трения соскальзывает тело. Начальная скорость тела равна 0. Определите (выведите формулу), как зависит скорость тела от пройденного пути S. За какое время от начала движения тело достигнет основания наклонной плоскости, если в начальный момент тело находилось на высоте h от основания?

[Kivir]

Решение: тело движется с ускорением вдоль наклонной плоскости. (см. рис.) Воспользуемся вторым законом Ньютона (в проекции на ось x):

mgsinα = ma,

получаем: 

a=g∙sinα.

Путь определим из уравнения пути (учтём, что начальная скорость равна нулю): S = at²/2
Скорость тела – из уравнения скорости:  υ = at,
возведём в квадрат и поделим на путь:

\[ \frac{{{\upsilon }^{2}}}{S}=\frac{{{a}^{2}}\cdot {{t}^{2}}\cdot 2}{a\cdot {{t}^{2}}}=2a=2g\sin \alpha , \]

Тогда зависимость скорости от пройденного пути:

\[ \upsilon =\sqrt{2\cdot S\cdot g\cdot \sin \alpha }. \]

Из рисунка видно, что путь равен: S = h /sinα,
тогда искомое время:

\[ t=\sqrt{\frac{2S}{a}}=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }} \]