Два заряженных шарика взаимодействуют после соприкосновения

[анечкалапочка]

Два одинаковых заряженных шарика притягиваются друг к другу. После того как шарики были приведены в соприкосновение и раздвинуты на расстояние в n = 2 раза большее, чем прежде, сила взаимодействия между ними уменьшилась в m = 12 раз. Каков был заряд первого шарика до соприкосновения, если заряд второго шарика был q = 1 Кл?

[alsak]

Так как заряды притягивались друг к другу, и заряд второго шарика был q > 0, то заряд первого шарика q₁ < 0. После соприкосновения заряды одинаковых шариков будут равны друг другу и
\[ q_{2} =\frac{q-\left|q_{1} \right|}{2}. \; \; \; (1) \]
Силы взаимодействия шариков до соприкосновения F₁ и после F₂ будут равны (с учетом уравнения (1)):
\[ F_{1} =\frac{k\cdot q\cdot \left|q_{1} \right|}{r_{1}^{2}}, \; \; \; F_{2} =\frac{k\cdot q_{2}^{2} }{r_{2}^{2} } =\frac{k\cdot \left(q-\left|q_{1} \right|\right)^{2} }{4r_{2}^{2}}, \]
где r₂ = n⋅r₁, F₁ = m⋅F₂. Тогда
\[ \frac{F_{1}}{F_{2}} =\frac{k\cdot q\cdot \left|q_{1} \right|}{r_{1}^{2}} \cdot \frac{4r_{2}^{2}}{k\cdot \left(q-\left|q_{1} \right|\right)^{2}}, \; \; \; \frac{m\cdot F_{2} }{F_{2}} =\frac{q\cdot \left|q_{1} \right|}{r_{1}^{2}} \cdot \frac{4n^{2} \cdot r_{1}^{2} }{\left(q-\left|q_{1} \right|\right)^{2}}, \]
\[ m=\frac{4n^{2} }{\left(q-\left|q_{1} \right|\right)^{2} } \cdot q\cdot \left|q_{1} \right|, \; \; \; q_{1}^{2} -\left(1+\frac{2n^{2} }{m} \right)\cdot 2q\cdot \left|q_{1} \right|+q^{2} =0. \]
Получили квадратное уравнение. Корни этого уравнения равны
\[ \left|q_{1} \right|= \frac{m+2n^{2} }{m} \cdot q\pm \sqrt{\left(\frac{m+2n^{2} }{m} \cdot q\right)^{2} -q^{2}}, \]
q₁ = –3 Кл или q₁ = –0,33 Кл.