Увеличение массы тела на пружине изменило период колебаний с Т1 до Т2

[анечкалапочка]

Висящее на пружине тело имело период вертикальных колебаний Т₁. Увеличение его массы изменило период колебаний до значения Т₂. Вычислите смещение положения равновесия конца пружины под действием тела после увеличения его массы.

[alsak]

1 случай: на пружине висит груз массой m. На груз действуют сила тяжести (m⋅g) и сила упругости пружины (F_y1). В положении равновесия

m⋅g = F_y1,

где F_y1 = k⋅Δl₁ (из закона Гука), Δl₁ — удлинение пружины в первом случае. Тогда

m⋅g = k⋅Δl₁.   (1)

Период колебаний этой системы будет равен
\[ T_{1} =2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k} }. \; \; \; (2) \]
Решая систему уравнений (1)-(2), найдем Δl₁. Например,
\[ \frac{m}{k} =\frac{T_{1}^{2} }{4\pi ^{2}}, \; \; \; \Delta l_{1} =\frac{m}{k} \cdot g=\frac{T_{1}^{2} \cdot g}{4\pi ^{2}}. \; \; \; (3) \]

2 случай: на пружине висит груз массой m₂ (m₂ > m). Аналогичные рассуждения позволяют получить следующую формулу:
\[ \Delta l_{2} =\frac{T_{2}^{2} \cdot g}{4\pi ^{2}}. \; \; \; (4) \]

Если длину недеформированной пружины обозначить буквой l, то под действием груза массы m длина пружины (в равновесии) станет равной

l₁ = l + Δl₁,

под действием груза массы m₂ —

l₂ = l + Δl₂.

Тогда смещение положения равновесия конца пружины будет равно:

Δl = l₂ – l₁ = Δl₂ – Δl₁

или с учетом уравнений (3) и (4)
\[ \Delta l=\left(T_{2}^{2} -T_{1}^{2} \right)\cdot \frac{g}{4\pi ^{2}}. \]