Два математических маятника одновременно начинают колебания

[анечкалапочка]

Два математических маятника с периодами колебаний T₁ = 6 с и T₂ = 5 c соответственно одновременно начинают колебания в одинаковых фазах. Через какое наименьшее время фазы их колебаний снова будут одинаковыми?

[dx/dt]

Очевидно, что и первый, и второй маятники за это время (которое мы находим) должны совершить целое число колебаний. То есть искомое время должно делится на Т1 и должно делиться на Т2. НОК(5,6) = 30, легко найти подбором. Ответ: 30 с.

[alsak]

По условию колебания начинаются в одинаковых фазах, т.е.

φ₁ = φ₂

или

ω₁⋅t + φ₀₁ = ω₂⋅t + φ₀₂.

В начальный момент времени t = 0. Тогда

φ₀₁ = φ₀₂.

Фазы их колебаний снова будут одинаковыми, если

Δφ = φ₂ – φ₁ = 2π⋅n

или

(ω₂ – ω₁)⋅t = 2π⋅n,

где ω = 2π/T, n = 1, 2, 3, …. Тогда (учтем, что для наименьшего времени n = 1)
\[ t=\frac{2\pi \cdot n}{\omega _{2} -\omega _{1} } =\frac{n}{1/T_{2} -1/T_{1}}, \; \; \; t_{\min } =\frac{1}{1/T_{2} -1/T_{1} } =\frac{T_{1} \cdot T_{2}}{T_{1} -T_{2}}, \]
t_min = 30 с.