Для нахождения напряженности или индукции магнитного поля в центре прямоугольника будем использовать принцип суперпозиции и формулу для магнитного поля отрезка с током:
\[ \begin{align}
& B=\frac{{{\mu }_{0}}I}{4\pi r}(\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}}). \\
& \\
\end{align}
\]
Эта формула часто встречается в задачах на расчет магнитных полей, она выводится из закона Био-Савара-Лапласа и иллюстрируется на первом рисунке.
В случае, когда точка А равноудалена от концов отрезка, первую формулу можно привести к более простому виду:
\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}I}{4\pi r}(\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})=\frac{{{\mu }_{0}}I}{4\pi r}(\cos {{\alpha }_{1}}-\cos (\pi -{{\alpha }_{1}}))=\frac{{{\mu }_{0}}I}{4\pi r}\cdot 2\cos {{\alpha }_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}I}{2\pi r}\cos {{\alpha }_{1}}. \]
В нашей задаче мы имеем четыре отрезка с током, которые и образуют прямоугольник (см. рис. 2).
Для нахождения магнитной индукции поля, создаваемого четырьмя отрезками с током, воспользуемся принципом суперпозиции:
\[ \vec{B}={{\vec{B}}_{12}}+{{\vec{B}}_{23}}+{{\vec{B}}_{34}}+{{\vec{B}}_{41}}.
\]
Так как направления всех векторов совпадают (векторы входят в плоскость рисунка), то от векторной суммы можно перейти к скалярной:
\[ B={{B}_{12}}+{{B}_{23}}+{{B}_{34}}+{{B}_{41}}. \]
Из соображений симметрии следует, что величины магнитной индукции противоположных отрезков будут одинаковы, поэтому
\[ B=2\cdot ({{B}_{12}}+{{B}_{23}}). \]
Тогда
\[ {{B}_{12}}=\frac{{{\mu }_{0}}I}{2\pi {{r}_{1}}}\cos \angle 1=\frac{{{\mu }_{0}}I}{2\pi \frac{b}{2}}\cdot \frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\frac{{{\mu }_{0}}Ia}{\pi b\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}, \]
\[ {{B}_{23}}=\frac{{{\mu }_{0}}I}{2\pi {{r}_{2}}}\cos \angle 2=\frac{{{\mu }_{0}}I}{2\pi \frac{a}{2}}\cdot \frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\frac{{{\mu }_{0}}Ib}{\pi a\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}},
\]
\[ B=2\cdot ({{B}_{12}}+{{B}_{23}})=2\cdot (\frac{{{\mu }_{0}}Ia}{\pi b\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}+\frac{{{\mu }_{0}}Ib}{\pi a\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}),
\]
\[ B=\frac{2{{\mu }_{0}}I}{\pi }\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}}.
\]
Учитывая, что напряженность магнитного поля и магнитная индукция связаны соотношением
\[ B=\mu {{\mu }_{0}}H,\mu =1,
\]
получаем окончательную формулу:
\[ H=\frac{2I}{\pi }\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}}, \]
H = 145,4 А/м. Вектор напряженности направлен перпендикулярно плоскости прямоугольника (см. рис. 2).
Ответ: H = 145,4 А/м.
