Посередине запаянной с обоих концов трубки находится столбик ртути

[Anna]

Посередине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтально расположенной трубки длины L = 1 м находится столбик ртути длиной h = 20 см. Если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на расстояние Δl = 10 см. До какого давления р была откачана трубка? Плотность ртути ρ =13,6⋅10³ кг/м³.

[alsak]

В горизонтально расположенной трубке слева и справа от столбика ртути находился газ, давление которого p (рис. 1). Если S — площадь поперечного сечения трубки, то объемы газа сверху и снизу столбика (столбик посередине) равны

V = S⋅l = S⋅(L – h)/2.   (1)

В вертикально расположенной трубке давление сверху станет p₁, снизу — p₂ (рис. 2). Причем

p₂ = p₁ + ρ⋅g⋅h.   (2)

Объемы газа стали равными

V₁ = S⋅((L – h)/2 + Δl),   V₂ = S⋅((L – h)/2 – Δl).   (3)

Так как в условии ничего не говорится про изменении температуры, то считаем процессы изотермическими. Тогда для верхнего и нижнего газов можно записать:

p⋅V =p₁⋅V₁,   p⋅V =p₂⋅V₂,

или с учетом уравнений (1)-(3)

p⋅S⋅(L – h)/2 = p₁⋅S⋅((L – h)/2 + Δl),

p⋅S⋅(L – h)/2 =(p₁ + ρ⋅g⋅h)⋅S⋅((L – h)/2 – Δl),

или

p⋅(L – h) =p₁⋅(L – h + 2Δl),   (4)

p⋅(L – h) =(p₁ + ρ⋅g⋅h)⋅(L – h – 2Δl).   (5)

Решим систему уравнений (4)-(5). Например,
\[ p_{1} =\frac{p\cdot \left(L-h\right)}{L-h+2\Delta l}, \; \; \; p\cdot \left(L-h\right)=\left(\frac{p\cdot \left(L-h\right)}{L-h+2\Delta l} +\rho \cdot g\cdot h\right)\cdot \left(L-h-2\Delta l\right), \]
\[ p=\frac{\rho \cdot g\cdot h\cdot \left(L-h-2\Delta l\right)\cdot \left(L-h+2\Delta l\right)}{\left(L-h\right)\cdot 4\Delta l}, \]
p = 51 кПа.

Примечание. В условие надо добавить, что температура газа не изменяется.