Найти изменение электроемкости конденсатора, если раздвинуть пластины

[Масенька]

Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 12,5 см², а расстояние между ними 5 мм. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов 6кВ. Пластины конденсатора раздвигают таким образом, что расстояние между ними становится 1 см. Найти изменение электроемкости конденсатора, напряженности электрического поля и разности потенциалов между его пластинами, заряда на пластинах, а также объемной плотности энергии электрического поля в двух случаях:
а) если источник питания перед раздвижением не отключается;
б) если источние питания перед раздвидением отключается. :(Вообще в этой задаче запуталась, очень хочу решить...Помогите..

[alsak]

Изменение геометрических размеров конденсатора приводит к изменению его электроемкости. Обозначим буквой C₁ электроемкость конденсатора с расстоянием между пластинами d₁ = 5 мм, C₂ — с расстоянием d₂ = 1 см. Тогда (ε = 1 — конденсатор воздушный)

\[ C_{1} = \frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d_{1} } ,\; \; \; C_{2} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d_{2} }, \]
\[ \frac{C_{2} }{C_{1} } =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d_{2} } \cdot \frac{d_{1} }{\varepsilon _{0} \cdot S} =\frac{d_{1} }{d_{2} } =\frac{1}{2}. \;\;\; (1) \]

Ответ 1. Электроемкость уменьшилась в 2 раза.


Рассмотрим случай а) источник питания перед раздвижением не отключается. Тогда напряжение (разность потенциалов) на конденсаторе U не изменяется (остается равной напряжению источника).
Ответ 2а. Напряжение (разность потенциалов) не изменилось.

Напряжение на конденсаторе и напряженность между пластин конденсатора связаны соотношением U = E⋅d. Тогда

\[ E_{1} =\frac{U}{d_{1} }, \; \; \; E_{2} =\frac{U}{d_{2} }, \; \; \; \frac{E_{2} }{E_{1} } =\frac{U}{d_{2} } \cdot \frac{d_{1} }{U} = \frac{d_{1} }{d_{2} } =\frac{1}{2}.  \;\;\; (2) \]

Ответ 3а. Напряженность уменьшилась в 2 раза.

Заряд конденсатора, напряжение и электроемкость связаны соотношением C = q/U. Тогда с учетом уравнения (1) получаем

\[ q_{1} =C_{1} \cdot U, \; \; \; q_{2} =C_{2} \cdot U, \; \; \; \frac{q_{2} }{q_{1} } =\frac{C_{2} \cdot U}{C_{1} \cdot U} =\frac{C_{2} }{C_{1} } = \frac{1}{2}. \]

Ответ 4а. Заряд конденсатора уменьшился в 2 раза.

Для расчета объемной плотности ω воспользуемся формулой ω = ε₀⋅E²/2. Тогда с учетом уравнения (2) получаем

\[ \omega _{1} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot E_{1}^{2}}{2}, \;\;\; \omega _{2} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot E_{2}^{2}}{2}, \; \; \; \frac{\omega _{2} }{\omega _{1}} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot E_{2}^{2}}{2} \cdot \frac{2}{\varepsilon _{0} \cdot E_{1}^{2} }  =\left(\frac{E_{2}}{E_{1} } \right)^{2} = \frac{1}{4}. \]

Ответ 5а. Объемная плотность уменьшилась в 4 раза.

Продолжение следует

[alsak]

Рассмотрим случай б) источник питания перед раздвижением отключается. Тогда будет выполняться закон сохранения электрического заряда, т.е. не будет меняться заряд q конденсаторов.
Ответ 2б. Заряд не изменился.

Заряд конденсатора, напряжение и электроемкость связаны соотношением C = q/U. Тогда с учетом уравнения (1) получаем

\[ U_{1} =\frac{q}{C_{1} } ,\; \; \; U_{2} =\frac{q}{C_{2} }, \; \; \; \frac{U_{2} }{U_{1} } =\frac{q}{C_{2} } \cdot \frac{C_{1} }{q} =\frac{C_{1} }{C_{2} } =2. \;\;\; (3)  \]

Ответ 3б. Напряжение на конденсаторе увеличится в 2 раза.

Напряжение на конденсаторе и напряженность между пластин конденсатора связаны соотношением U = E⋅d. Тогда с учетом уравнения (3) получаем

\[ E_{1} =\frac{U_{1}}{d_{1}}, \; \; \; E_{2} =\frac{U_{2}}{d_{2}}, \; \; \; \frac{E_{2}}{E_{1}} =\frac{U_{2}}{d_{2}} \cdot \frac{d_{1}}{U_{1}} =\frac{U_{2} }{U_{1}} \cdot \frac{d_{1}}{d_{2}} =2\cdot \frac{1}{2} =1. \;\;\; (4)  \]

Ответ 4б. Напряженность не изменилась.

Для объемной плотности ω с учетом уравнения (4) получаем

\[ \frac{\omega _{2}}{\omega _{1}} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot E_{2}^{2} }{2} \cdot \frac{2}{\varepsilon _{0} \cdot E_{1}^{2} } \, =\left(\frac{E_{2} }{E_{1} } \right)^{2} =1.  \]

Ответ 5б. Объемная плотность не изменилась.