Решение.
Добротность контура
Q — характеристика, показывающая, во сколько раз запасы энергии в контуре больше, чем потери энергии за один период колебаний.
Коэффициент затухания β – величина характеризующая скорость затухания колебаний и обратная времени в течении которого амплитуда уменьшается в
e раз (
e — основание натурального логарифма).
Затухание колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания χ.
Добротность контура определим по формуле
\[ \begin{align}
& Q=\frac{\pi }{\chi }(1),\chi =\beta \cdot T(2),T=\frac{1}{\nu }(3),Q=\frac{\pi \cdot \nu }{\beta },\beta =\frac{\pi \cdot \nu }{Q}(4). \\
& \beta =\frac{3,14\cdot {{10}^{3}}}{20}=157. \\
\end{align} \]
Время релаксации (время затухания) — период времени, за который амплитудное значение возмущения в выведенной из равновесия физической системе уменьшается в
e раз (
e — основание натурального логарифма), в основном обозначается греческой буквой τ.
Число колебаний за время релаксации определим по формуле
\[ \begin{align}
& {{N}_{e}}=\frac{\tau }{T},T=\frac{1}{\nu },{{N}_{e}}=\tau \cdot \nu (5),\tau =\frac{1}{\beta }(6),{{N}_{e}}=\frac{\nu }{\beta }(7). \\
& {{N}_{e}}=\frac{1000}{157}=6,4. \\
\end{align} \]
При слабом затухании колебаний добротность пропорциональна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент к убыли этой энергии за один период колебаний.
Определим относительное изменение энергии контура за время релаксации
\[ \frac{W(t)}{W(t)-W(t+T)}=\frac{Q}{2\cdot \pi }(8).\frac{W(t)}{W(t)-W(t+T)}=\frac{20}{2\cdot 3,14}=3,18.
\]
Запишем уравнение колебаний
\[ \begin{align}
& x={{x}_{0}}\cdot {{e}^{-\beta \cdot t}}\cdot \cos (\omega \cdot t+{{\varphi }_{0}}).x={{x}_{0}}\cdot {{e}^{-157\cdot t}}\cdot \cos (2\cdot {{10}^{3}}\cdot \pi \cdot t+{{\varphi }_{0}}). \\
& \frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}+2\cdot \beta \frac{dx}{dt}+{{\omega }^{2}}\cdot x=0,\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}+2\cdot 157\frac{dx}{dt}+{{(2\cdot {{10}^{3}}\cdot \pi )}^{2}}\cdot x=0. \\
\end{align}
\]
