Две линзы с одинаковыми фокусными расстояниями находятся на одной оси

[анечкалапочка]

Две линзы с одинаковыми фокусными расстояниями находятся на одной оси на расстоянии l = 1 м друг от друга. Изображение предмета, помещенного на расстоянии d = 1 м от одной линзы, получилось на таком же расстоянии от другой линзы. Найдите фокусное расстояние линз.

[alsak]

Вы уверены, что написали полное условие? В таком виде очень много различных комбинаций (в своем решении я уже рассмотрел 4, но это, наверное, еще не все). Возможно в условии указаны какие линзы, или есть рисунок?
И почему вы никогда не указываете источник, откуда берете задачи?

[alsak]

Введем обозначения: линза 1 — это ближайшая к предмету линза, изображение 1 — это изображение полученное в линзе 1, изображение 2 — это изображение полученное в линзе 2, f₁ — расстояние от линзы 1 до изображения 1, d₂ — расстояние от изображения 1 (которое является предметом для линзы 2) до линзы 2, f₂ = d — расстояние от линзы 2 до изображения 2.

1 предположение: линзы рассеивающие (рис. 1). Тогда d₂ = f₁ + l, от точки А₁ на линзу 2 падают расходящиеся лучи, поэтому точка А₁ является действительным предметом для линзы 2. Так как линзы рассеивающие, то изображения в линзах будут мнимыми. Запишем формулы тонкой линзы для двух линз:
\[ -\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f_{1} }, \; \; \; -\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{2}} -\frac{1}{f_{2} } =\frac{1}{f_{1} +l} -\frac{1}{d}. \]
Решим систему уравнений. Например,
\[ f_{1} =\frac{d\cdot F}{d+F}, \; \; \; -\frac{1}{F} =\frac{d+F}{d\cdot F+l\cdot \left(d+F\right)} -\frac{1}{d} =\frac{d^{2} -l\cdot d-l\cdot F}{\left(d\cdot F+l\cdot d+l\cdot F\right)\cdot d}, \]

d²⋅F + l⋅d⋅F + l⋅d² = l⋅F² + l⋅d⋅F – d²⋅F,

l⋅F² – 2d²⋅F– l⋅d² = 0.

Положительный корень этого квадратного уравнения
F = 2,4 м.

2 предположение: линзы собирающие и d < F (рис. 2). Тогда d₂ = f₁ + l, от точки А₁ на линзу 2 падают расходящиеся лучи, поэтому точка A₁ является действительным предметом для линзы 2. Так как d < F, то изображение 1 мнимое, так как d₂ > F, то изображение 2 действительное. Запишем формулы тонкой линзы для двух линз:
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f_{1}}, \; \; \; \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{2} } +\frac{1}{f_{2} } =\frac{1}{f_{1} +l} +\frac{1}{d}. \]
Решим систему уравнений. Например,
\[ f_{1} =\frac{d\cdot F}{F-d} ,\; \; \; \frac{1}{F} =\frac{F-d}{d\cdot F+l\cdot \left(F-d\right)} +\frac{1}{d} =\frac{2d\cdot F+l\cdot F-l\cdot d-d^{2} }{\left(d\cdot F+l\cdot F-l\cdot d\right)\cdot d}, \]

d²⋅F + l⋅d⋅F – l⋅d² = 2d⋅F² + l⋅F² – l⋅d⋅F – d⋅²F,

(2d + l)⋅F² – 2d⋅(l + d)⋅F + l⋅d² = 0.

Корни этого квадратного уравнения 1 м и 1/3 м не подходят для нашего предположения — d < F. Значит наше предположение не верное.

Продолжение следует.

[alsak]

Все остальные предположения в упрощенном виде для самостоятельного решения.

3 предположение: линзы собирающие, d > F и изображение 1 получается между линзами (рис. 3). Тогда d₂ = l – f₁, от точки А₁ на линзу 2 падают расходящиеся лучи, поэтому точка А₁ является действительным предметом для линзы 2. Так как d > F, то изображение 1 действительное.
а) Пусть расстояние d₂ > F, тогда изображение 2 действительное. Запишем формулы тонкой линзы для двух линз:
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f_{1}}, \; \; \; \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{2} } +\frac{1}{f_{2} } =\frac{1}{l-f_{1} } +\frac{1}{d}. \]
Решите систему уравнений.

б) Пусть расстояние d₂ < F, тогда изображение 2 мнимое. Запишем формулы тонкой линзы для двух линз:
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f_{1}}, \; \; \; \frac{1}{F} =\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{f_{2} } =\frac{1}{l-f_{1} } -\frac{1}{d}. \]
Решите систему уравнений.

4 предположение: линзы собирающие, d > F и изображение 1 получается после линзы 2 (рис. 4). Тогда d₂ = f₁ – l, от точки А₁ на линзу 2 падают сходящиеся лучи, поэтому точка А₁ является мнимым предметом для линзы 2. Так как d > F, то изображение 1 действительное.
а) Пусть расстояние d₂ > F, тогда изображение 2 действительное. Запишем формулы тонкой линзы для двух линз:
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f_{1}}, \; \; \; \frac{1}{F} =-\frac{1}{d_{2} } +\frac{1}{f_{2} } =-\frac{1}{f_{1} -l} +\frac{1}{d}. \]
Решите систему уравнений.

б) Пусть расстояние d₂ < F, тогда изображение 2 мнимое. Такого варианта не может быть, так как получаем противоречивое уравнение (левая часть уравнения положительная, правая — отрицательная):
\[ \frac{1}{F} =-\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{f_{2}}.  \]