В сосуде с ртутью плавает металлический шарик

[анечкалапочка]

В сосуде с ртутью плавает металлический шарик, плотность которого 5 г/см³. Во сколько раз уменьшится объем части шарика, погруженной в ртуть, если поверх ртути налить слой воды, полностью закрывающий шарик? Плотность ртути принять раной 12,5 г/см³.   

[alsak]

1 случай: тело погружено только в ртуть. На тело действуют силы тяжести (m⋅g) и архимедова сила (F_A1) (рис. 1). Запишем условие плавания тела:

F_A1 = m⋅g,

где F_A1 = ρ₁⋅g⋅V₁, ρ₁ — плотность ртути (см. примечание), V₁ — объем погруженной в ртуть части тела, m = ρ⋅V, ρ — плотность тела, V — объем всего тела. Тогда

ρ₁⋅g⋅V₁ = ρ⋅V⋅g

или

ρ₁⋅V₁ = ρ⋅V.   (1)

2 случай: тело погружено в ртуть и воду. На тело действуют силы тяжести (m⋅g), архимедова сила со стороны ртути (F_A2) и архимедова сила со стороны воды (F_A3) (рис. 2). Запишем условие плавания тела:

F_A2 + F_A3 = m⋅g,

где F_A2 = ρ₁⋅g⋅V₂, F_A3 = ρ₂⋅g⋅V₃, V₂ — объем погруженной в ртуть части тела, ρ₂ = 1 г/см³ — плотность воды, V₃ = V – V₂ — объем погруженной в воду части тела. Тогда

ρ₁⋅g⋅V₂ + ρ₂⋅g⋅(V – V₂) = ρ⋅V⋅g

или

ρ₁⋅V₂ + ρ₂⋅(V – V₂) = ρ⋅V.   (2)

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
\[ V=\frac{\rho _{1} \cdot V_{1}}{\rho }, \; \; \; V_{2} =\frac{V\cdot \left(\rho -\rho _{2} \right)}{\rho _{1} -\rho _{2}} =\frac{\rho _{1} \cdot V_{1} \cdot \left(\rho -\rho _{2} \right)}{\rho \cdot \left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)}, \; \; \; \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\rho \cdot \left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)}{\rho _{1} \cdot \left(\rho -\rho _{2} \right)}, \; \; \; \frac{V_{1} }{V_{2} } =1,15. \]

Примечание. Необычное значение плотности ртути. В таблицах дано 13,6 г/см³.