С увеличением высоты уменьшается ускорение свободного падения, поэтому период колебаний маятника увеличивается, следовательно за сутки на высоте h маятник совершит меньше колебаний чем за то же время у поверхности земли.
Пусть N
0 и N число колебаний соответственно на уровне моря и на высоте h;
t
0 и t – показания часов на уровне моря и на высоте h
Показания часов пропорционально числу колебаний маятника.
\[ \begin{align}
& \frac{t}{{{t}_{0}}}=\frac{N}{{{N}_{0}}} \\
& t={{t}_{0}}\cdot \frac{N}{{{N}_{0}}} \\
\end{align}
\]
Разность хода часов
Δt=t0-t
\[ \begin{align}
& {{N}_{0}}=\frac{{{t}_{0}}}{{{T}_{0}}} \\
& N=\frac{{{t}_{0}}}{T} \\
\end{align}
\]
T
0 и T – период колебаний маятника на уровне моря и на высоте h
\[ \begin{align}
& {{T}_{0}}=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{{{g}_{0}}}} \\
& T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{{{g}_{h}}}} \\
\end{align}
\]
g
0 и g ускорение свободного падения на уровне моря и на высоте
\[ \begin{align}
& {{g}_{0}}=G\cdot \frac{M}{{{R}^{2}}} \\
& {{g}_{h}}=G\cdot \frac{M}{{{(R+h)}^{2}}} \\
\end{align}
\]
М – масса земли, R- радиус земли.
\[ \frac{N}{{{N}_{0}}}=\frac{{{T}_{0}}}{T}=\sqrt{\frac{{{g}_{h}}}{{{g}_{0}}}}=\sqrt{\frac{{{R}^{2}}}{{{(R+h)}^{2}}}}=\frac{R}{R+h} \]
Теперь найдем разность хода часов
\[ \Delta t={{t}_{0}}-t={{t}_{0}}-{{t}_{0}}\cdot \frac{N}{{{N}_{0}}}={{t}_{0}}\cdot \left( 1-\frac{N}{{{N}_{0}}} \right)={{t}_{0}}\cdot \left( 1-\frac{R}{R+h} \right)={{t}_{0}}\cdot \frac{h}{R+h} \]
