Решение: Различие между ускорением свободного падения на полюсе и экваторе можно объяснить несколькими факторами (неоднородность планеты, может быть планета приплюснута – полярный радиус меньше экваториального). В данной задаче различие объясняется суточным вращением. У тела, которое движется по окружности, появляется центростремительное ускорение, которое и нужно учесть. На полюсе планеты тело не участвует во вращении, поэтому значение силы тяжести и, следовательно, ускорения свободного падения наибольшее. Получаем:
\[ \vec{g}_{p} =\vec{g}_{0}. \]
На экваторе сила тяжести (ускорение свободного падения) принимает минимальное значение, т.к. тело вращается вместе с планетой, тогда полное ускорение свободного падения (эффективное ускорение) на экваторе:
\[ \begin{array}{l} {\vec{g}_{e} =\vec{g}_{0} -\vec{a},} \\ {g_{e} =g_{0} -a.} \end{array} \]
Здесь a – центростремительное ускорение, g0 – ускорение свободного падения (учтено, что имеют одинаковое направление к центру планеты), полученное по известной формуле:
\[ g_{0} =G\cdot \frac{M}{R^{2}}. \]
где G = 6,67∙10–11 Н∙м2/кг2 – гравитационная постоянная, M – масса планеты, R – радиус планеты. Формула получена в приближении, что планета шаровидна и нет суточного вращения, тогда сила тяжести и сила всемирного тяготения равны. Центростремительное ускорение:
\[ a=\omega ^{2} \cdot R=\left(\frac{2\cdot \pi }{T} \right)^{2} \cdot R=\frac{4\cdot \pi }{T^{2}} ^{2} \cdot R. \]
здесь T – период вращения (продолжительность суток). Согласно условия:
\[ \frac{g_{e} }{g_{p} } =\frac{1}{n} ,\frac{g_{0} -a}{g_{0} } =\frac{1}{n} ,\frac{a}{g_{0}} =1-\frac{1}{n}. \]
подставим g0 и a:
\[ \begin{array}{l} {\frac{\frac{4\cdot \pi }{T^{2} } ^{2} \cdot R}{G\cdot \frac{M}{R^{2} } } =1-\frac{1}{n} ,} \\ {\frac{4\cdot \pi ^{2} \cdot R^{3} }{T^{2} \cdot G\cdot M} =1-\frac{1}{n}.} \end{array} \]
Массу планеты выразим через её плотность и объём (объём шара):
\[ M=\rho \cdot V=\rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^{3}. \]
Сделаем подстановку, и выразим искомую величину (получим ответ):
\[ \begin{array}{l} {\frac{3\cdot 4\cdot \pi ^{2} \cdot R^{3} }{T^{2} \cdot G\cdot \rho \cdot 4\cdot \pi \cdot R^{3} } =1-\frac{1}{n} ,} \\ {T=\sqrt{\frac{3\cdot \pi \cdot n}{\rho \cdot G\left(n-1\right)} } .} \end{array} \]
