Определить высоту ИС Земли, период которого 1 час 36 мин

[roma]

Первый искусственный спутник Земли, имел период обращения 1 час 36 минут. Считая орбиту спутника круговой, а движение равномерным, определить высоту полёта спутника над поверхностью Земли.

[djeki]

Пусть r – расстояние от центра Земли до спутника, m – масса спутника. Сила тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение. На основании второго закона Ньютона
\[ G\cdot \frac{m\cdot M}{{{r}^{2}}}=m\cdot {{\omega }^{2}}\cdot r \]
где G – гравитационная постоянная, M – масса Земли, ω – угловая скорость спутника. Тогда:
\[ \begin{align}
  & \omega =\frac{2\cdot \pi }{T}; \\
 & G\cdot \frac{M}{{{r}^{2}}}=\frac{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot r}{{{T}^{2}}} \\
\end{align}
 \]
Умножив и разделив левую часть этого выражения на R², будем иметь
\[ \begin{align}
  & G\cdot \frac{M}{{{R}^{2}}}\cdot \frac{{{R}^{2}}}{{{r}^{2}}}=\frac{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot r}{{{T}^{2}}};G\cdot \frac{M}{{{R}^{2}}}=g \\
 & \frac{g\cdot {{R}^{2}}}{{{r}^{2}}}=\frac{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot r}{{{T}^{2}}} \\
 & r=\sqrt[3]{\frac{g\cdot {{T}^{2}}\cdot {{R}^{2}}}{4\cdot {{\pi }^{2}}}} \\
\end{align}
 \]
Следовательно, расстояние от поверхности  Земли до спутника
\[ h=r-R=\sqrt[3]{\frac{g\cdot {{T}^{2}}\cdot {{R}^{2}}}{4\cdot {{\pi }^{2}}}}-R \]
h = 63517.8 м