Определите период электромагнитных колебаний в колебательном контуре

[Ваня]

Определите период электромагнитных колебаний в колебательном контуре, если амплитуда силы тока равна I_m, а амплитуда электрического заряда на пластинах конденсатора q_m.

[djek]

Решение 1
Электрическим колебательным контуром называется система, состоящая из конденсатора и катушки, соединенных между собой в замкнутую электрическую цепь. При подключении обкладок заряженного конденсатора к концам катушки в последней возникает электрический ток и энергия электрического поля заряженного конденсатора начинает превращаться в энергию магнитного поля. Согласно закону сохранения энергии максимальная энергия электрического поля заряженного конденсатора равна максимальной энергии магнитного поля катушки.
\[ \begin{align}
  & {{W}_{0C}}={{W}_{0L}} \\
 & \frac{q_{m}^{2}}{2\cdot C}=\frac{L\cdot I_{m}^{2}}{2}(1) \\
\end{align}
 \]
Для нахождения периода колебаний в контуре воспользуемся формулой Томсона
\[ T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C}(2) \]
Решим совместно уравнения (1) и (2)
\[ T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{q_{m}^{2}}{I_{m}^{2}}=}2\cdot \pi \cdot \frac{{{q}_{m}}}{{{I}_{m}}} \]
Решение 2.
Зависимость заряда q на обкладках конденсатора от времени имеет вид

q = q_m·cos(ω₀·t)

Cила тока является производной от заряда

I=q’(t) = - q_m· ω₀·sin(ω₀·t)

где

I_m= q_m· ω₀;

ω₀ – циклическая частота колебаний
\[ \begin{align}
  & {{\omega }_{0}}=\frac{2\cdot \pi }{T};{{I}_{m}}={{q}_{m}}\cdot \frac{2\cdot \pi }{T} \\
 & T={{q}_{m}}\cdot \frac{2\cdot \pi }{{{I}_{m}}} \\
\end{align}
 \]