Палка, вбитая в дно озера..

[dragonik95]

Извините, помогите пожалуйста решить.

Палка, вбитая в дно озера, поднимается над водой на 1м. Глубина озера 2м. Чему равна длина тени палки на дне озера, если высота Солнца над горизонтом 30 градусов.

[djek]

Пусть длина тени палки на дне озера АС, ОА = h – глубина озера, ОЕ = h₁ – высота поднимающейся над водой части палки, β – высота солнца над горизонтом. Помним, что углы падения и преломления (отражения) отсчитываются от нормали к преломляющей  поверхности
Тогда

АС = АВ + ВС.
АВ = ОА·tgγ = h·tgγ;
BC = OD = h₁·tgα;
α = 90 – β = 60.

\[ tg\gamma =\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma } \]
sinγ найдем из закона преломления
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \gamma }=n,\sin \gamma =\frac{\sin \alpha }{n} \]
где n = 1,33 – показатель преломления воды. Показатель преломления воздуха равен 1.
Учитывая, что

cos²γ + sin²γ = 1

получим выражение для tgγ
\[ tg\gamma =\frac{\sin \gamma }{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\gamma }}=\frac{\sin \alpha }{n\cdot \sqrt{1-\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{{{n}^{2}}}}}=\frac{\sin \alpha }{\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\alpha }} \]
Длина тени палки на дне озера
\[ AB=h\cdot \frac{\sin \alpha }{\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\alpha }}+{{h}_{1}}\cdot tg\alpha  \]