Вступительный экзамен июнь 2013 года

[alsak]

9. Вариант 2. Тело массой 4 кг подбросили вверх с начальной скоростью 2 м/с с поверхности земли. Написать уравнения зависимости потенциальной энергии от высоты тела над поверхностью земли, кинетической энергии тела от его скорости, полной механической энергии от высоты тела. Построить графики этих зависимостей. Рассмотреть подъем до максимальной высоты. Сопротивление воздуха не учитывать. g = 10 м/с².
Решение. Уравнения зависимости потенциальной энергии E_p тела от высоты h, кинетической энергии E_k тела от его скорости υ:
\[E_{p} =m\cdot g\cdot h,\; \; \; (1)\; \; \; E_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} .\; \; \; (2)\]
Из уравнения (1) следует, что зависимость потенциальной энергии E_p тела от высоты h линейная, поэтому график — прямая линия, проходящая через 0. Для ее построения достаточно две точки:
точка 1: h₁ = 0 м,   E_p1 = 0 Дж.
Для нахождения максимальной высоты h₂ тела воспользуемся законом сохранения энергии относительно поверхности земли (учтем, что на максимальной высоте скорость тела равна нулю):
\[E_{1} =E_{2} ,\; \; \; \frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} =m\cdot g\cdot h_{2} ,\; \; \; h_{2} =\frac{\upsilon _{1}^{2} }{2g} ,\]
точка 2: h₂ = 0,2 м,   E_p2 = 8 Дж.
График см. на рис. 1.

Из уравнения (2) следует, что зависимость кинетической энергии E_k тела от его скорости υ квадратичная, поэтому график — парабола, проходящая через 0. Для ее построения необходимо несколько точек:
точка 1: υ₁ = 2 м/с,   E_k1 = 8 Дж.
точка 2: υ₂ = 1,5 м/с,   E_k2 = 4,5 Дж;
точка 3: υ₃ = 1 м/с,   E_k3 = 2 Дж;
точка 4: υ₄ = 0 м/с,   E_k4 = 0 Дж.
График см. на рис. 2.

Полная механическая энергия E в замкнутой системе (а она по условию задачи замкнутая) не изменяется (и от высоты не зависит) и равна максимальной кинетической энергии (в точке 1) или максимальной потенциальной энергии (в точке 2), т.е. E = 8 Дж.
График см. на рис. 3.

[alsak]

10. Вариант 1. Небольшое тело массой m = 1,1 кг висит на невесомой нерастяжимой нити длиной l = 45 см, касаясь бруска массой M = 2,2 кг, покоящегося на шероховатой горизонтальной поверхности. Тело отвели в сторону так, что нить образовала угол α = 60° с вертикалью, и отпустили. На какой расстояние сместится брусок в результате абсолютно упругого удара, если коэффициент трения скольжения между бруском и поверхностью μ = 0,40?
10. Вариант 2. Небольшое тело массой m = 0,50 кг висит на нерастяжимой нити длиной l = 40 см, касаясь бруска массой M = 1,5 кг, покоящегося на шероховатой горизонтальной поверхности. Тело отвели в сторону так, что нить образовала угол α = 60° с вертикалью, и отпустили. Чему равен коэффициент трения скольжения между бруском и поверхностью, если в результате абсолютно упругого удара брусок сместился на расстояние s = 20 см?

Решение. Разобьем решение задачи на три части: 1) движение тела на нити вниз; 2) упругий удар тела и бруска; 3) движение бруска по горизонтальной поверхности.
Часть 1: движение тела на нити вниз.
За нулевую высоту примем высоту горизонтальной поверхности. Начальное положение тела — тело отклоняется на угол α от вертикали (на рис. 1, точка А), конечное — тело на уровне горизонтальной поверхности (точка В). Запишем закон сохранения энергии:
\[E_{0} =E_{1} ,\; \; m\cdot g\cdot h_{0} \; =\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} ,\]
где h₀ = CB = OB – OC = l – l⋅cos α = l⋅(1 – cos α). Тогда
\[\upsilon _{1} =\sqrt{2g\cdot h_{0} } =\sqrt{2g\cdot l\cdot \left(1-\cos \alpha \right)} .\; \; \; (1)\]

Часть 2: упругий удар тела и бруска.
В случае упругого удара кроме импульса системы (тело-брусок) сохраняется также ее механическая энергия. Запишем оба закона сохранения и учтем, что после упругого удара брусок начнет двигаться вправо, а направление скорости тела υ₂ неизвестно (рис. 2):
\[\begin{array}{c} {0X:\; \; \; m\cdot \upsilon _{1} =m\cdot \upsilon _{2x} +M\cdot \upsilon _{3} ,\; \; \; (2)} \\ {\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} =\frac{m\cdot \upsilon _{2x}^{2} }{2} +\frac{M\cdot \upsilon _{3}^{2} }{2} .\; \; \; (3)} \end{array}\]
Решим систему уравнений (2) и (3). Например,
\[\begin{array}{c} {\upsilon _{2x} =\frac{m\cdot \upsilon _{1} -M\cdot \upsilon _{3} }{m} ,\; \; \; m\cdot \upsilon _{1}^{2} =m\cdot \frac{\left(m\cdot \upsilon _{1} -M\cdot \upsilon _{3} \right)^{2} }{m^{2} } +M\cdot \upsilon _{3}^{2} ,} \\ {\left(m\cdot \upsilon _{1} -M\cdot \upsilon _{3} \right)^{2} +m\cdot M\cdot \upsilon _{3}^{2} -m^{2} \cdot \upsilon _{1}^{2} =0,} \\ {-2m\cdot \upsilon _{1} +M\cdot \upsilon _{3} +m\cdot \upsilon _{3} =0,\; \; \; \upsilon _{3} =\frac{2m\cdot \upsilon _{1} }{m+M} .\; \; \; (4)} \end{array}\]

Часть 3: движение бруска по горизонтальной поверхности.
При движении на брусок действует сила трения скольжения, которая равна (см. рис. 3)
\[F_{mp} =\mu \cdot N=\mu \cdot M\cdot g.\; \; \; (5)\]
Дальше возможно несколько способов решения. Например, записать второй закон Ньютона и найти ускорение тела. Затем воспользоваться формулой перемещения.
Другой способ, найдем работу силы трения A_mp и механические энергии бруска в начальный момент времени E₃ (сразу же после удара тела) и в конечный момент (при остановке бруска) E₄ (рис. 4).
\[\begin{array}{c} {A_{mp} =-F_{mp} \cdot s=E_{4} -E_{3} ,} \\ {-F_{mp} \cdot s=0-\frac{M\cdot \upsilon _{3}^{2} }{2} ,\, \, \, \; F_{mp} \cdot s=\frac{M\cdot \upsilon _{3}^{2} }{2} .} \end{array}\]
Подставим в последнее выражение уравнения (1), (4) и (5).
\[\begin{array}{c} {\mu \cdot M\cdot g\cdot s=\frac{M}{2} \cdot \left(\frac{2m\cdot \upsilon _{1} }{m+M} \right)^{2} ,\; \; \; \mu \cdot g\cdot s=2\cdot \left(\frac{m}{m+M} \right)^{2} \cdot \upsilon _{1}^{2} ,} \\ {\mu \cdot g\cdot s=2\cdot \left(\frac{m}{m+M} \right)^{2} \cdot 2g\cdot l\cdot \left(1-\cos \alpha \right),\; \; \; \mu \cdot s=4\cdot \left(\frac{m}{m+M} \right)^{2} \cdot l\cdot \left(1-\cos \alpha \right).} \end{array}\]

1 вариант.
\[s=\frac{4}{\mu } \cdot \left(\frac{m}{m+M} \right)^{2} \cdot l\cdot \left(1-\cos \alpha \right),\]
Ответ. s = 0,25 м = 25 см.

2 вариант.
\[\mu =\frac{4}{s} \cdot \left(\frac{m}{m+M} \right)^{2} \cdot l\cdot \left(1-\cos \alpha \right),\]
Ответ. μ = 0,25.