Доска и брусок

[darkvlad]

На наклонной плоскости с углом при основании (альфа)=30 градусов лежит доска массой М=2 кг, а на доске находится брусок массой m=1 кг. Коэффициент трения доски о плоскость равен 0,2, бруска о доску 0,15. С какими ускорениями движутся брусок и доска, предоставленные сами себе?

Хотелось бы подробное решение задачи, если можно.

Заранее благодарен!

[Kivir]

Решение: пусть брусок движется с ускорением a₂. Рассмотрим силы, действующие на брусок: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, N₂ – сила нормальной реакции со стороны опоры (доски), F_tr2 – сила трения бруска о доску.  (см. рис.) На рисунке для наглядности смещены точки приложения сил на брусок и доску. Пусть доска движется с ускорением a₁. Силы, действующие на доску: Mg – сила тяжести, N₁ – сила нормальной реакции опоры, F_tr2 – сила трения доски о брусок, F_tr1 – сила трения доски о наклонную плоскость, P – сила давления бруска на доску, т.к. брусок находится на доске и давит на неё. Сила давления бруска на доску приложена к доске, равна по модулю и противоположна по направлению силе нормальной реакции, действующей на брусок со стороны доски – по третьему закону Ньютона.
Систему координат выберем следующим образом: координатную ось x направим вниз, вдоль наклонной плоскости, ось у вверх, перпендикулярно наклонной плоскости.
Запишем второй закон Ньютона для бруска и доски.
\[ \begin{array}{l} {m\vec{g}+\vec{N}_{2} +\vec{F}_{tr2} =m\vec{a}_{2} ,} \\ {M\vec{g}+\vec{N}_{1} +\vec{F}_{tr1} +\vec{F}_{tr2} +\vec{P}=M\vec{a}_{1} .} \end{array} \]
Учтём, что сила трения скольжения находится как произведение коэффициента трения на силу нормальной реакции опоры: F_tr = μ∙N,   т.е.

F_tr1 = μ₁∙N₁  и    F_tr2 = μ₂∙N₂.

Спроецируем полученные уравнения на систему координат.
Для бруска:
\[ \begin{array}{l} {x:mg\cdot \sin \alpha -\mu _{2} \cdot N_{2} =m\cdot a_{2} ,} \\ {y:-mg\cdot \cos \alpha +N_{2}=0.}\end{array} \]
Из второго уравнения выразим силу реакции опоры N₂, подставим в первое и найдём ускорение бруска:
\[ \begin{array}{l} {mg\cdot \sin \alpha -\mu _{2} \cdot mg\cdot \cos \alpha =m\cdot a_{2} ,} \\ {a_{2} =g\cdot \left(\sin \alpha -\mu _{2} \cdot \cos \alpha \right).} \end{array} \]
Для доски:
\[ \begin{array}{l} {x:Mg\cdot \sin \alpha -\mu _{1} \cdot N_{1} +\mu _{2} \cdot N_{2} =Ma_{1},} \\ {y:-Mg\cdot \cos \alpha +N_{1} -P=0.} \end{array} \]
Выразим из второго уравнения N₁, N₂ возьмём из второго уравнения для бруска. Сила давления бруска на доску P = N₂. Тогда  имеем систему:
\[ \begin{array}{l} {Mg\cdot \sin \alpha -\mu _{1} \cdot N_{1} +\mu _{2} \cdot N_{2} =Ma_{1} ,} \\ {N_{1} =Mg\cdot \cos \alpha +P,} \\ {P=N_{2} =mg\cdot \cos \alpha.} \end{array} \]
Подставляем в первое уравнение и находим ускорение доски:
\[ \begin{array}{l} {Mg\cdot \sin \alpha -\mu _{1} \cdot \left(Mg\cdot \cos \alpha +mg\cdot \cos \alpha \right)+\mu _{2} \cdot mg\cdot \cos \alpha =Ma_{1} ,} \\ {a_{1} =g\cdot \sin \alpha -\mu _{1} \cdot g\cdot \cos \alpha -\mu _{1} \cdot \frac{m}{M} \cdot g\cdot \cos \alpha +\mu _{2} \cdot \frac{m}{M} \cdot g\cdot \cos \alpha ,} \\ {a_{1} =g\cdot \left(\sin \alpha +\mu _{2} \cdot \frac{m}{M} \cdot \cos \alpha -\mu _{1} \cdot \frac{m+M}{M} \cdot \cos \alpha \right).} \end{array} \]
Ответ: a₂ = 3,7 м/с²,  a₁ = 4,35 м/с² (при расчётах ускорение свободного падения  g = 10 м/с²)