Найти максимальную угловую скорость вращения стержня с грузом

[Ka6aH4uK]

Груз, массой 200 г, прикрепленный к концу невесомого стержня длиной 10 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг другого конца стержня. Стержень разрывается при силе натяжения, направленной вдоль оси, равной по модулю 10 Н. Найти максимальную угловую скорость, с которой можно вращать стержень, чтобы он оставался целым.

[alsak]

При вращении стержня с грузом, стержень может испытывать и деформацию сжатия (в верхней части дуги), и деформацию растяжения. По условию «стержень разрывается», следовательно, будем рассматривать только деформацию растяжения. Для постоянной угловой скорости вращения максимальная деформация растяжения будет в нижней точке.
На груз в нижней точке действуют сила тяжести (m∙g) и сила натяжения стержня (Т). Ось 0Y направим так, как показано на рис. 1. Запишем проекцию второго закона Ньютона на ось 0Y:

0Y: m∙a_с = T – m∙g,

где a_c = ω²∙R, R = l. По условию T < 10 Н или T_max = 10 Н. Тогда
\[\begin{array}{c} {m\cdot a_{c} <T_{\max } -m\cdot g,\; \; \; \; m\cdot \omega ^{2} \cdot l<T_{\max } -m\cdot g,} \\ \\{\omega <\sqrt{\frac{T_{\max } -m\cdot g}{m\cdot l} } ,\; \; \; \omega _{\max } =\sqrt{\frac{T_{\max } -m\cdot g}{m\cdot l} } ,} \end{array}\]
ω_max = 20 рад/с.