Молекулярный пучок падает на стенку

[Антон Огурцевич]

Молекулярный пучок падает на стенку и отражается от неё по закону абсолютно упругого удара. Найти давление Р молекулярного пучка на стенку, если скорость  молекул составляет угол α с нормалью к стенке. Известны масса m и скорость v молекул, а также число молекул в единице объёма n. Рассмотреть случаи:
1) стенка неподвижна;
2) стенка движется в направлении своей нормали со скоростью.

[alsak]

Давление p молекулярного пучка на стенку происходит из-за ударов молекул и равно
\[p=\frac{F_{1} }{S_{1} } ,\; \; \; (1)\]
где F₁ — сила ударов молекул о стенку, S₁ — площадь сечения, на которую падает молекулярный пучок. По третьему закону Ньютона, с какой силой F₁ молекулы ударяются о стенку, с такой же по модулю силой F₂ стенка действует на молекулы и вызывает изменение их импульса.

1) Стенка неподвижна (рис. 1).
Силу F₂ найдем через изменение импульса молекул:
\[\begin{array}{c} {\vec{F}_{2} \cdot t=M\cdot \vec{\upsilon }-M\cdot \vec{\upsilon }_{0} ,} \\ {0X:\; \; \; F_{2x} \cdot t=M\cdot \upsilon \cdot \cos \beta -\left(-M\cdot \upsilon _{0} \cdot \cos \alpha \right),\; \; \; (2)} \\ {0Y:\; \; \; F_{2y} \cdot t=M\cdot \upsilon \cdot \sin \beta -M\cdot \upsilon _{0} \cdot \sin \alpha ,\; \; \; (3)} \end{array}\]
где t — время, за которое о стенку ударяется N молекул, M = N∙m — масса N молекул, m — масса одной молекулы. Число молекул и массу M можно найти так (рис. 2):
\[\begin{array}{c} {N=n\cdot V=n\cdot S\cdot l=n\cdot S\cdot \upsilon _{0} \cdot t,} \\ {M=n\cdot S\cdot \upsilon _{0} \cdot t\cdot m.\; \; \; (4)} \end{array}\]
где S — площадь поперечного сечения молекулярного пучка.

Спорный вопрос: площади S₁ и S равны или нет. Некоторые авторы (например, Гольдфарб Н.И. в задаче 11.7 своего сборника) считают, что это одно и то же, другие авторы связывают эти площади следующим соотношением (рис. 3):
\[S_{1} =\frac{S}{\cos \alpha } .\; \; (5)\]
Так как удар упругий, то υ = υ₀, β = α. Тогда, с учетом уравнений (2) - (4), получаем:
\[\begin{array}{c} {F_{2x} \cdot t=2M\cdot \upsilon _{0} \cdot \cos \alpha =2n\cdot S\cdot \upsilon _{0} \cdot t\cdot m\cdot \upsilon _{0} \cdot \cos \alpha ,} \\ {F_{2x} =2n\cdot S\cdot \upsilon _{0}^{2} \cdot m\cdot \cos \alpha ,} \\ {F_{2y} \cdot t=0,\; \; \; \; \; F_{2y} =0,} \\ {F_{1} =F_{2} =F_{2x} =2n\cdot S\cdot \upsilon _{0}^{2} \cdot m\cdot \cos \alpha .} \end{array}\]
Подставим полученное выражение в уравнение (1) и учтем уравнение (5):
\[p=\frac{2n\cdot S\cdot \upsilon _{0}^{2} \cdot m\cdot \cos \alpha }{S_{1} } =2n\cdot \upsilon _{0}^{2} \cdot m\cdot \cos ^{2} \alpha .\]

[alsak]

2) Стенка движется в направлении своей нормали (рис. 4).
При упругом ударе в этом случае не меняется проекция скорости молекул υ_0y, т.е.
\[\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} .\; \; \; (6)\]
Значение проекции скорости молекул υ_0x, а значит и угол отражения β, изменятся.
Перейдем в систему отсчета, связанную со стеной. В новой системе стена неподвижна, поэтому при упругом ударе значение скорости не будет меняться. Проекции скоростей молекул в новой системе будут равны (рис. 5):
\[\begin{array}{c} {\upsilon _{0x} =-\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha ,\; \; \; (7)} \\ {\upsilon '_{0x} =\upsilon _{0x} -u=-\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha -u,\; \; \; } \\ {\upsilon '_{x} =-\upsilon '_{0x} =-\left(-\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha -u\right)=\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha +u.} \end{array}\]
При переходе в старую систему (стенка движется со скоростью u) проекция скорости станет равной:
\[\upsilon _{x} =\upsilon '_{x} +u=\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha +2u.\; \; \; (8 ) \]

Силу F₂ так же найдем через изменение импульса молекул (учтем уравнения (6)-(8 ) и (4)):
\[\begin{array}{c} {\vec{F}_{2} \cdot t=M\cdot \vec{\upsilon }-M\cdot \vec{\upsilon }_{0} ,} \\ {0Y:\; \; \; F_{2y} \cdot t=M\cdot \upsilon _{y} -M\cdot \upsilon _{0y} =0,\; \; \; F_{2y} =0,} \\ {0X:\; \; F_{2x} \cdot t=M\cdot \upsilon _{x} -M\cdot \upsilon _{0x} =M\cdot \left(\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha +2u+\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha \right)=} \\ {=2M\cdot \left(\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha +u\right)=2n\cdot S\cdot \upsilon _{0} \cdot t\cdot m\cdot \left(\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha +u\right),} \\ {F_{1} =F_{2} =F_{2x} =2n\cdot S\cdot \upsilon _{0} \cdot m\cdot \left(\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha +u\right).} \end{array}\]
Подставим полученное выражение в уравнение (1) и учтем уравнение (5):
\[p=\frac{2n\cdot S\cdot \upsilon _{0} \cdot m\cdot \left(\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha +u\right)}{S_{1} } =2n\cdot S\cdot \upsilon _{0} \cdot m\cdot \left(\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha +u\right)\cdot \cos \alpha .\]